미적분 예제

$y = x^{3} - 9 x + 5$ , $(3, 5)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 3$ , $y = 5$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

미분합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 9 x + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$- 9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 9 x$ 의 미분은 $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.2.3

$- 9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} - 9 + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$3 x^{2} - 9 + 0$

단계 1.3.2

$3 x^{2} - 9$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 x^{2} - 9$

단계 1.4

$x = 3$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$3 {(3)}^{2} - 9$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1.1

지수를 더하여 $3$ 에 ${(3)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.5.1.1.1

$3$ 에 ${(3)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.5.1.1.1.1

$3$ 를 $1$ 승 합니다.

$3^{1} {(3)}^{2} - 9$

단계 1.5.1.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3^{1 + 2} - 9$

단계 1.5.1.1.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$3^{3} - 9$

단계 1.5.1.2

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$27 - 9$

단계 1.5.2

$27$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$18$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $18$ 과 주어진 점 $(3, 5)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (5) = 18 \cdot (x - (3))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 5 = 18 \cdot (x - 3)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$18 \cdot (x - 3)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 5 = 0 + 0 + 18 \cdot (x - 3)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 5 = 18 \cdot (x - 3)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 5 = 18 x + 18 \cdot - 3$

단계 2.3.1.4

$18$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$y - 5 = 18 x - 54$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$y = 18 x - 54 + 5$

단계 2.3.2.2

$- 54$ 를 $5$ 에 더합니다.

$y = 18 x - 49$

단계 3