미적분 예제

$\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$

단계 1

점근선을 구합니다.

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단계 1.1

식 $\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x \leq - \frac{5}{7}$

단계 1.2

왼쪽에서 $\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- \frac{5}{7}$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- \frac{5}{7}$ 이므로 $x = - \frac{5}{7}$ 는 수직점근선입니다.

$x = - \frac{5}{7}$

단계 1.3

수평점근선을 구하려면 $lim_{x \to \infty} \frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 1.3.1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.3.1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (7 x + 5)}{lim_{x \to \infty} e^{7 x + 5}}$

단계 1.3.1.1.2

로그가 무한대에 가까워지면 값은 $\infty$ (으)로 이동합니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{7 x + 5}}$

단계 1.3.1.1.3

지수 $7 x + 5$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{7 x + 5}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.3.1.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.3.1.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

단계 1.3.1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

단계 1.3.1.3.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 7 x + 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $7 x + 5$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

단계 1.3.1.3.2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

단계 1.3.1.3.2.3

$u$ 를 모두 $7 x + 5$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

단계 1.3.1.3.3

합의 법칙에 의해 $7 x + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

단계 1.3.1.3.4

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

단계 1.3.1.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

단계 1.3.1.3.6

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

단계 1.3.1.3.7

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

단계 1.3.1.3.8

$7$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} \cdot 7}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

단계 1.3.1.3.9

$\frac{1}{7 x + 5}$ 와 $7$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

단계 1.3.1.3.10

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 7 x + 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1.3.10.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $7 x + 5$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

단계 1.3.1.3.10.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{u} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

단계 1.3.1.3.10.3

$u$ 를 모두 $7 x + 5$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

단계 1.3.1.3.11

합의 법칙에 의해 $7 x + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5])}$

단계 1.3.1.3.12

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}$

단계 1.3.1.3.13

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}$

단계 1.3.1.3.14

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 + \frac{d}{d x} [5])}$

단계 1.3.1.3.15

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 + 0)}$

단계 1.3.1.3.16

$7$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} \cdot 7}$

단계 1.3.1.3.17

$e^{7 x + 5}$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{7 e^{7 x + 5}}$

단계 1.3.1.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{7 x + 5} \cdot \frac{1}{7 e^{7 x + 5}}$

단계 1.3.1.5

$\frac{7}{7 x + 5}$ 에 $\frac{1}{7 e^{7 x + 5}}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{(7 x + 5) (7 e^{7 x + 5})}$

단계 1.3.1.6

$7$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.1.6.1

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{(7 x + 5) (7 e^{7 x + 5})}$

단계 1.3.1.6.2

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{(7 x + 5) (e^{7 x + 5})}$

단계 1.3.2

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{(7 x + 5) (e^{7 x + 5})}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$0$

단계 1.4

수평점근선 나열:

$y = 0$

단계 1.5

로그와 삼각함수에서는 사선점근선이 존재하지 않습니다.

사선점근선 없음

단계 1.6

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = - \frac{5}{7}$

수평점근선: $y = 0$

수직점근선: $x = - \frac{5}{7}$

수평점근선: $y = 0$

단계 2

$x = 1$ 인 점을 구합니다.

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단계 2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = \frac{\ln (7 (1) + 5)}{e^{7 (1) + 5}}$

단계 2.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.2.1.1

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = \frac{\ln (7 + 5)}{e^{7 (1) + 5}}$

단계 2.2.1.2

$7$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{7 (1) + 5}}$

단계 2.2.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.2.2.1

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{7 + 5}}$

단계 2.2.2.2

$7$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{12}}$

단계 2.2.3

최종 답은 $\frac{\ln (12)}{e^{12}}$ 입니다.

$\frac{\ln (12)}{e^{12}}$

단계 2.3

$\frac{\ln (12)}{e^{12}}$ 를 소수로 변환합니다.

$y = 1.52677941 \times 10^{- 5}$

단계 3

$x = 2$ 인 점을 구합니다.

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단계 3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f (2) = \frac{\ln (7 (2) + 5)}{e^{7 (2) + 5}}$

단계 3.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (2) = \frac{\ln (14 + 5)}{e^{7 (2) + 5}}$

단계 3.2.1.2

$14$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{7 (2) + 5}}$

단계 3.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{14 + 5}}$

단계 3.2.2.2

$14$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{19}}$

단계 3.2.3

최종 답은 $\frac{\ln (19)}{e^{19}}$ 입니다.

$\frac{\ln (19)}{e^{19}}$

단계 3.3

$\frac{\ln (19)}{e^{19}}$ 를 소수로 변환합니다.

$y = 1.64970922 \times 10^{- 8}$

단계 4

$x = 3$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f (3) = \frac{\ln (7 (3) + 5)}{e^{7 (3) + 5}}$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$7$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (3) = \frac{\ln (21 + 5)}{e^{7 (3) + 5}}$

단계 4.2.1.2

$21$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{7 (3) + 5}}$

단계 4.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$7$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{21 + 5}}$

단계 4.2.2.2

$21$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{26}}$

단계 4.2.3

최종 답은 $\frac{\ln (26)}{e^{26}}$ 입니다.

$\frac{\ln (26)}{e^{26}}$

단계 4.3

$\frac{\ln (26)}{e^{26}}$ 를 소수로 변환합니다.

$y = 1.66459052 \times 10^{- 11}$

단계 5

로그 함수의 그래프는 수직점근선인 $x = - \frac{5}{7}$ 와 $(1, 1.52677941), (2, 1.64970922), (3, 1.66459052)$ 점들을 사용하여 그릴 수 있습니다.

수직점근선: $x = - \frac{5}{7}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1.527 \\ 2 & 1.65 \\ 3 & 1.665 \end{array}$

단계 6