미적분 예제

$y = \ln^{12} (x) + \ln (x^{12})$

단계 1

괄호를 제거합니다.

$y = \ln^{12} (x) + \ln (x^{12})$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln^{12} (x) + \ln (x^{12}))$

단계 3

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $\ln^{12} (x) + \ln (x^{12})$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\ln^{12} (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\ln^{12} (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [\ln^{12} (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.2.1

$f (x) = x^{12}$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{12}] \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

단계 4.2.1.2

$n = 12$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 {u_{1}}^{11} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

단계 4.2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\ln (x)$ 로 바꿉니다.

$12 \ln^{11} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

단계 4.2.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$12 \ln^{11} (x) \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

단계 4.2.3

$\frac{1}{x}$ 와 $12$ 을 묶습니다.

$\frac{12}{x} \ln^{11} (x) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

단계 4.2.4

$\frac{12}{x}$ 와 $\ln^{11} (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

단계 4.3

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.3.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{12}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{12}$ 로 바꿉니다.

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{12}]$

단계 4.3.1.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{12}]$

단계 4.3.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{12}$ 로 바꿉니다.

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{1}{x^{12}} \frac{d}{d x} [x^{12}]$

단계 4.3.2

$n = 12$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{1}{x^{12}} (12 x^{11})$

단계 4.3.3

$12$ 와 $\frac{1}{x^{12}}$ 을 묶습니다.

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x^{12}} x^{11}$

단계 4.3.4

$\frac{12}{x^{12}}$ 와 $x^{11}$ 을 묶습니다.

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12 x^{11}}{x^{12}}$

단계 4.3.5

$x^{11}$ 및 $x^{12}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.5.1

$12 x^{11}$ 에서 $x^{11}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{x^{11} \cdot 12}{x^{12}}$

단계 4.3.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.5.2.1

$x^{12}$ 에서 $x^{11}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{x^{11} \cdot 12}{x^{11} x}$

단계 4.3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{x^{11} \cdot 12}{x^{11} x}$

단계 4.3.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x}$