미적분 예제

$y = \frac{1}{\sqrt{x + \sqrt[3]{x}}}$

단계 1

유리 지수를 사용하여 우변을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \frac{1}{\sqrt{x + x^{\frac{1}{3}}}}$

단계 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x + x^{\frac{1}{3}}}$ 을(를) ${(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \frac{1}{{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}})$

단계 3

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\frac{1}{{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 ${({(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{({(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

단계 4.1.2

${({(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

단계 4.1.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{- 1}{2}}]$

단계 4.1.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{1}{2}}]$

단계 4.2

$f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ , $g (x) = x + x^{\frac{1}{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + x^{\frac{1}{3}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

단계 4.2.2

$n = - \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

단계 4.2.3

$u$ 를 모두 $x + x^{\frac{1}{3}}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

단계 4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

단계 4.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

단계 4.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

단계 4.6.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

단계 4.7

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

단계 4.7.2

${(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

단계 4.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

단계 4.8

합의 법칙에 의해 $x + x^{\frac{1}{3}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

단계 4.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

단계 4.10

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

단계 4.11

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

단계 4.12

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

단계 4.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

단계 4.14

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.14.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

단계 4.14.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

단계 4.15

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

단계 4.16

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

단계 4.17

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

단계 4.18

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.18.1

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.18.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(- 1 \cdot 1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.18.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(- 1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.18.4

$- 1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 에 $\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.18.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.18.5.1

$- 1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.18.5.1.1

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (1) - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.18.5.1.2

$- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (1) - (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.18.5.1.3

$- 1 (1) - (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.18.5.1.4

$- 1 (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ 을 $- (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.18.5.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{- (\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.18.5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.18.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.18.7

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.18.7.1

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$ 에 $\frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} (3 x^{\frac{2}{3}})}$

단계 4.18.7.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{6 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{6 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3}}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{6 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3}}}$