미적분 예제

$q = \cos (\frac{t}{\sqrt{t + 5}})$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{t + 5}$ 을(를) ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$q = \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d t} (q) = \frac{d}{d t} (\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}))$

단계 3

$q$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $q'$ 입니다.

$q'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

$f (t) = \cos (t)$ , $g (t) = \frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 4.1.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 4.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 로 바꿉니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 4.2

$f (t) = t$ , $g (t) = {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 는 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 4.3

${({(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 4.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 4.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 5)}^{1}}$

단계 4.4

간단히 합니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 5}$

단계 4.5

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.5.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 5}$

단계 4.5.2

${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 5}$

단계 4.6

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ , $g (t) = t + 5$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $t + 5$ 로 바꿉니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

단계 4.6.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

단계 4.6.3

$u_{2}$ 를 모두 $t + 5$ 로 바꿉니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

단계 4.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

단계 4.8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

단계 4.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

단계 4.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

단계 4.10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

단계 4.11

분수를 통분합니다.

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단계 4.11.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

단계 4.11.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(t + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{{(t + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

단계 4.11.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(t + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

단계 4.11.4

$\frac{1}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $t$ 을 묶습니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 5]}{t + 5}$

단계 4.12

합의 법칙에 의해 $t + 5$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5]$ 가 됩니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5])}{t + 5}$

단계 4.13

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [5])}{t + 5}$

단계 4.14

$5$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{t + 5}$

단계 4.15

식을 간단히 합니다.

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단계 4.15.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{t + 5}$

단계 4.15.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

단계 4.16

공통 분모를 가지는 분수로 ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

단계 4.17

${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

단계 4.18

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

단계 4.19

지수를 더하여 ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 4.19.1

${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} {(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

단계 4.19.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

단계 4.19.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

단계 4.19.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

단계 4.19.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{1} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

단계 4.20

${(t + 5)}^{1} \cdot 2$ 을 간단히 합니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{(t + 5) \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

단계 4.21

$t + 5$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{2 \cdot (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

단계 4.22

$\frac{\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{t + 5})$

단계 4.23

$\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{t + 5}$ 을 곱합니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}} (t + 5)}$

단계 4.24

$t + 5$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 ({(t + 5)}^{1} {(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 4.25

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

단계 4.26

식을 간단히 합니다.

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단계 4.26.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

단계 4.26.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

단계 4.26.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.27

$\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$ 와 $\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ 을 묶습니다.

$- \frac{(2 (t + 5) - t) \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.28

간단히 합니다.

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단계 4.28.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{(2 t + 2 \cdot 5 - t) \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.28.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.28.2.1

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- \frac{(2 t + 10 - t) \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.28.2.2

$2 t$ 에서 $t$ 을 뺍니다.

$- \frac{(t + 10) \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.28.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{t \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) + 10 \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.28.3

$t \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) + 10 \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ 에서 $\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.28.3.1

$t \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ 에서 $\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + 10 \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.28.3.2

$10 \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ 에서 $\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 10}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.28.3.3

$\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 10$ 에서 $\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 10)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$q' = - \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 10)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 6

$q'$ 에 $\frac{d q}{d t}$ 를 대입합니다.

$\frac{d q}{d t} = - \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 10)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$