미적분 예제

$\frac{x}{x^{2} + 49}$

단계 1

$\frac{x}{x^{2} + 49}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = x^{2} + 49$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

단계 2.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 49) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

단계 2.1.2.2

$x^{2} + 49$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 49 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

단계 2.1.2.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 49$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{2} + 49 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49])}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

단계 2.1.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} + 49 - x (2 x + \frac{d}{d x} [49])}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

단계 2.1.2.5

$49$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $49$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $49$ 입니다.

$\frac{x^{2} + 49 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

단계 2.1.2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.6.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 49 - x (2 x)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

단계 2.1.2.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 49 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

단계 2.1.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{2} + 49 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

단계 2.1.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{2} + 49 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

단계 2.1.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{2} + 49 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

단계 2.1.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 49 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

단계 2.1.7

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 49}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

단계 2.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$f (x) = - x^{2} + 49$ , $g (x) = {(x^{2} + 49)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 49] - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{({(x^{2} + 49)}^{2})}^{2}}$

단계 2.2.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

${({(x^{2} + 49)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 49] - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{2 \cdot 2}}$

단계 2.2.2.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 49] - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.2.2

합의 법칙에 의해 $- x^{2} + 49$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ 가 됩니다.

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.2.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [49]) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.2.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} [49]) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.2.6

$49$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $49$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $49$ 입니다.

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.2.7

$- 2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.3

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{2} + 49$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 49$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 49])}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 49])}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 49$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) (2 (x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49])}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49])}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.4.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 49$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ 가 됩니다.

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.4.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (2 x + \frac{d}{d x} [49]))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.4.4

$49$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $49$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $49$ 입니다.

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.4.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.5.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (2 x))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.4.5.2

$x^{2} + 49$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) (2 \cdot (x^{2} + 49) x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.4.5.3

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) ((x^{2} + 49) x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- 2 {(x^{2} + 49)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.2

${(x^{2} + 49)}^{2}$ 을 $(x^{2} + 49) (x^{2} + 49)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 2 ((x^{2} + 49) (x^{2} + 49)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(x^{2} + 49) (x^{2} + 49)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 49) + 49 (x^{2} + 49)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 49 + 49 (x^{2} + 49)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 49 + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.1.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.1.4.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.1.4.1.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 49 + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.4.1.1.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 49 + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.4.1.2

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $49$ 이동하기

$\frac{- 2 (x^{4} + 49 \cdot x^{2} + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.4.1.3

$49$ 에 $49$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 (x^{4} + 49 x^{2} + 49 x^{2} + 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.4.2

$49 x^{2}$ 를 $49 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{- 2 (x^{4} + 98 x^{2} + 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(- 2 x^{4} - 2 (98 x^{2}) - 2 \cdot 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.1.6.1

$98$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{(- 2 x^{4} - 196 x^{2} - 2 \cdot 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.6.2

$- 2$ 에 $2401$ 을 곱합니다.

$\frac{(- 2 x^{4} - 196 x^{2} - 4802) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.7

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 2 x^{4} x - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.1.8.1

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.1.8.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.8.1.2

$x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.1.8.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 2 (x^{1} x^{4}) - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.8.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 2 x^{1 + 4} - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.8.1.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.8.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.1.8.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 (x \cdot x^{2}) - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.8.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.1.8.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 (x^{1} x^{2}) - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.8.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{1 + 2} - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.8.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.9

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.1.9.1

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.9.2

$- 4$ 에 $49$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.10

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.1.10.1

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.1.10.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{2} x^{1} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.10.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{2 + 1} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.10.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{3} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.11

FOIL 계산법을 이용하여 $(4 x^{2} - 196) (x^{3} + 49 x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.1.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{2} (x^{3} + 49 x) - 196 (x^{3} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (49 x) - 196 (x^{3} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.11.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.12

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.1.12.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.1.12.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.1.12.1.1.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.12.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.12.1.1.3

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.12.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 x^{2} x - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.12.1.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.1.12.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 (x \cdot x^{2}) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.12.1.3.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 (x^{1} x^{2}) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 x^{1 + 2} - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.12.1.3.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 x^{3} - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.12.1.4

$4$ 에 $49$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 196 x^{3} - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.12.1.5

$49$ 에 $- 196$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 196 x^{3} - 196 x^{3} - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.12.2

$196 x^{3}$ 에서 $196 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 0 - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.1.12.3

$4 x^{5}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.2

$- 2 x^{5}$ 를 $4 x^{5}$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.3.3

$- 4802 x$ 에서 $9604 x$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x^{5} - 196 x^{3} - 14406 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.4.1

$2 x^{5} - 196 x^{3} - 14406 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.4.1.1

$2 x^{5}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (x^{4}) - 196 x^{3} - 14406 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.4.1.2

$- 196 x^{3}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 98 x^{2}) - 14406 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.4.1.3

$- 14406 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 98 x^{2}) + 2 x (- 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.4.1.4

$2 x (x^{4}) + 2 x (- 98 x^{2})$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (x^{4} - 98 x^{2}) + 2 x (- 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.4.1.5

$2 x (x^{4} - 98 x^{2}) + 2 x (- 7203)$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (x^{4} - 98 x^{2} - 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.4.2

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 98 x^{2} - 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.4.3

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 x (u^{2} - 98 u - 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.4.4

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - 98 u - 7203$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.4.4.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 7203$ 이고 합은 $- 98$ 입니다.

$- 147, 49$

단계 2.2.5.4.4.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{2 x ((u - 147) (u + 49))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.4.5

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 x (x^{2} - 147) (x^{2} + 49)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.5

$x^{2} + 49$ 및 ${(x^{2} + 49)}^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.5.1

$2 x (x^{2} - 147) (x^{2} + 49)$ 에서 $x^{2} + 49$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x (x^{2} - 147))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

단계 2.2.5.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.5.2.1

${(x^{2} + 49)}^{4}$ 에서 $x^{2} + 49$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x (x^{2} - 147))}{(x^{2} + 49) {(x^{2} + 49)}^{3}}$

단계 2.2.5.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x (x^{2} - 147))}{(x^{2} + 49) {(x^{2} + 49)}^{3}}$

단계 2.2.5.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}}$

단계 2.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}}$ 입니다.

$\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}}$

단계 3

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}} = 0$

단계 3.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 x (x^{2} - 147) = 0$

단계 3.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x^{2} - 147 = 0$

단계 3.3.2

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 3.3.3

$x^{2} - 147$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$x^{2} - 147$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 147 = 0$

단계 3.3.3.2

$x^{2} - 147 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1

방정식의 양변에 $147$ 를 더합니다.

$x^{2} = 147$

단계 3.3.3.2.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{147}$

단계 3.3.3.2.3

$\pm \sqrt{147}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.3.1

$147$ 을 $7^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.3.1.1

$147$ 에서 $49$ 를 인수분해합니다.

$x = \pm \sqrt{49 (3)}$

단계 3.3.3.2.3.1.2

$49$ 을 $7^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{7^{2} \cdot 3}$

단계 3.3.3.2.3.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 7 \sqrt{3}$

단계 3.3.3.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 7 \sqrt{3}$

단계 3.3.3.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 7 \sqrt{3}$

단계 3.3.3.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 7 \sqrt{3}, - 7 \sqrt{3}$

단계 3.3.4

$2 x (x^{2} - 147) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 7 \sqrt{3}, - 7 \sqrt{3}$

단계 4

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ 에 $0$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = \frac{0}{{(0)}^{2} + 49}$

단계 4.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = \frac{0}{0 + 49}$

단계 4.1.2.1.2

$0$ 를 $49$ 에 더합니다.

$f (0) = \frac{0}{49}$

단계 4.1.2.2

$0$ 을 $49$ 로 나눕니다.

$f (0) = 0$

단계 4.1.2.3

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 4.2

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ 에 $0$ 을 대입하여 구한 점은 $(0, 0)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(0, 0)$

단계 4.3

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ 에 $7 \sqrt{3}$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $7 \sqrt{3}$ 을 대입합니다.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{{(7 \sqrt{3})}^{2} + 49}$

단계 4.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

$7 \sqrt{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{7^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 49}$

단계 4.3.2.1.2

$7$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 {\sqrt{3}}^{2} + 49}$

단계 4.3.2.1.3

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 49}$

단계 4.3.2.1.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 49}$

단계 4.3.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 49}$

단계 4.3.2.1.3.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 49}$

단계 4.3.2.1.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3 + 49}$

단계 4.3.2.1.3.5

지수값을 계산합니다.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3 + 49}$

단계 4.3.2.1.4

$49$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{147 + 49}$

단계 4.3.2.1.5

$147$ 를 $49$ 에 더합니다.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{196}$

단계 4.3.2.2

$7$ 및 $196$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

$7 \sqrt{3}$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 (\sqrt{3})}{196}$

단계 4.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.2.1

$196$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{7 \cdot 28}$

단계 4.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{7 \cdot 28}$

단계 4.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{28}$

단계 4.3.2.3

최종 답은 $\frac{\sqrt{3}}{28}$ 입니다.

$\frac{\sqrt{3}}{28}$

단계 4.4

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ 에 $7 \sqrt{3}$ 을 대입하여 구한 점은 $(7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28})$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28})$

단계 4.5

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ 에 $- 7 \sqrt{3}$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 7 \sqrt{3}$ 을 대입합니다.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{{(- 7 \sqrt{3})}^{2} + 49}$

단계 4.5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1.1

$- 7 \sqrt{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{{(- 7)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 49}$

단계 4.5.2.1.2

$- 7$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 {\sqrt{3}}^{2} + 49}$

단계 4.5.2.1.3

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 49}$

단계 4.5.2.1.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 49}$

단계 4.5.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 49}$

단계 4.5.2.1.3.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 49}$

단계 4.5.2.1.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3 + 49}$

단계 4.5.2.1.3.5

지수값을 계산합니다.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3 + 49}$

단계 4.5.2.1.4

$49$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{147 + 49}$

단계 4.5.2.1.5

$147$ 를 $49$ 에 더합니다.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{196}$

단계 4.5.2.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.2.1

$- 7$ 및 $196$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.2.1.1

$- 7 \sqrt{3}$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{7 (- \sqrt{3})}{196}$

단계 4.5.2.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.2.1.2.1

$196$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{7 (- \sqrt{3})}{7 (28)}$

단계 4.5.2.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{7 (- \sqrt{3})}{7 \cdot 28}$

단계 4.5.2.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{28}$

단계 4.5.2.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- 7 \sqrt{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{28}$

단계 4.5.2.3

최종 답은 $- \frac{\sqrt{3}}{28}$ 입니다.

$- \frac{\sqrt{3}}{28}$

단계 4.6

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ 에 $- 7 \sqrt{3}$ 을 대입하여 구한 점은 $(- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28})$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28})$

단계 4.7

변곡점이 될 수 있는 점을 구합니다.

$(0, 0), (7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28}), (- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28})$

단계 5

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, - 7 \sqrt{3}) \cup (- 7 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 7 \sqrt{3}) \cup (7 \sqrt{3}, \infty)$

단계 6

$(- \infty, - 7 \sqrt{3})$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 12.22435565$ 을 대입합니다.

$f'' (- 12.22435565) = \frac{2 (- 12.22435565) ({(- 12.22435565)}^{2} - 147)}{{({(- 12.22435565)}^{2} + 49)}^{3}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$2$ 에 $- 12.22435565$ 을 곱합니다.

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 24.4487113 ({(- 12.22435565)}^{2} - 147)}{{({(- 12.22435565)}^{2} + 49)}^{3}}$

단계 6.2.1.2

$- 24.4487113$ 에 ${(- 12.22435565)}^{2} - 147$ 을 곱합니다.

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 59.52946133}{{({(- 12.22435565)}^{2} + 49)}^{3}}$

단계 6.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$- 12.22435565$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 59.52946133}{{(149.43487113 + 49)}^{3}}$

단계 6.2.2.2

$149.43487113$ 를 $49$ 에 더합니다.

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 59.52946133}{{198.43487113}^{3}}$

단계 6.2.2.3

$198.43487113$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 59.52946133}{7813650.47871413}$

단계 6.2.3

$- 59.52946133$ 을 $7813650.47871413$ 로 나눕니다.

$f'' (- 12.22435565) = - 0.00000761$

단계 6.2.4

최종 답은 $- 0.00000761$ 입니다.

$- 0.00000761$

단계 6.3

$- 12.22435565$ 에서의 2차 미분값은 $- 7.61864911 E - 6$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- \infty, - 7 \sqrt{3})$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, - 7 \sqrt{3})$ 에서 감소함

단계 7

$(- 7 \sqrt{3}, 0)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 6.06217782$ 을 대입합니다.

$f'' (- 6.06217782) = \frac{2 (- 6.06217782) ({(- 6.06217782)}^{2} - 147)}{{({(- 6.06217782)}^{2} + 49)}^{3}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$2$ 에 $- 6.06217782$ 을 곱합니다.

$f'' (- 6.06217782) = \frac{- 12.12435565 ({(- 6.06217782)}^{2} - 147)}{{({(- 6.06217782)}^{2} + 49)}^{3}}$

단계 7.2.1.2

$- 12.12435565$ 에 ${(- 6.06217782)}^{2} - 147$ 을 곱합니다.

$f'' (- 6.06217782) = \frac{1336.71021074}{{({(- 6.06217782)}^{2} + 49)}^{3}}$

단계 7.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$- 6.06217782$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 6.06217782) = \frac{1336.71021074}{{(36.75 + 49)}^{3}}$

단계 7.2.2.2

$36.75$ 를 $49$ 에 더합니다.

$f'' (- 6.06217782) = \frac{1336.71021074}{{85.75}^{3}}$

단계 7.2.2.3

$85.75$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (- 6.06217782) = \frac{1336.71021074}{630525.109375}$

단계 7.2.3

$1336.71021074$ 을 $630525.109375$ 로 나눕니다.

$f'' (- 6.06217782) = 0.00211999$

단계 7.2.4

최종 답은 $0.00211999$ 입니다.

$0.00211999$

단계 7.3

$- 6.06217782$ 에서의 이계도함수는 $0.00211999$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(- 7 \sqrt{3}, 0)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- 7 \sqrt{3}, 0)$ 에서 증가함

단계 8

$(0, 7 \sqrt{3})$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $6.06217782$ 을 대입합니다.

$f'' (6.06217782) = \frac{2 (6.06217782) ({(6.06217782)}^{2} - 147)}{{({(6.06217782)}^{2} + 49)}^{3}}$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$2$ 에 $6.06217782$ 을 곱합니다.

$f'' (6.06217782) = \frac{12.12435565 ({6.06217782}^{2} - 147)}{{({6.06217782}^{2} + 49)}^{3}}$

단계 8.2.1.2

$12.12435565$ 에 ${6.06217782}^{2} - 147$ 을 곱합니다.

$f'' (6.06217782) = \frac{- 1336.71021074}{{({6.06217782}^{2} + 49)}^{3}}$

단계 8.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$6.06217782$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (6.06217782) = \frac{- 1336.71021074}{{(36.75 + 49)}^{3}}$

단계 8.2.2.2

$36.75$ 를 $49$ 에 더합니다.

$f'' (6.06217782) = \frac{- 1336.71021074}{{85.75}^{3}}$

단계 8.2.2.3

$85.75$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (6.06217782) = \frac{- 1336.71021074}{630525.109375}$

단계 8.2.3

$- 1336.71021074$ 을 $630525.109375$ 로 나눕니다.

$f'' (6.06217782) = - 0.00211999$

단계 8.2.4

최종 답은 $- 0.00211999$ 입니다.

$- 0.00211999$

단계 8.3

$6.06217782$ 에서의 2차 미분값은 $- 0.00211999$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(0, 7 \sqrt{3})$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(0, 7 \sqrt{3})$ 에서 감소함

단계 9

$(7 \sqrt{3}, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

수식에서 변수 $x$ 에 $12.22435565$ 을 대입합니다.

$f'' (12.22435565) = \frac{2 (12.22435565) ({(12.22435565)}^{2} - 147)}{{({(12.22435565)}^{2} + 49)}^{3}}$

단계 9.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.1

$2$ 에 $12.22435565$ 을 곱합니다.

$f'' (12.22435565) = \frac{24.4487113 ({12.22435565}^{2} - 147)}{{({12.22435565}^{2} + 49)}^{3}}$

단계 9.2.1.2

$24.4487113$ 에 ${12.22435565}^{2} - 147$ 을 곱합니다.

$f'' (12.22435565) = \frac{59.52946133}{{({12.22435565}^{2} + 49)}^{3}}$

단계 9.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.1

$12.22435565$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (12.22435565) = \frac{59.52946133}{{(149.43487113 + 49)}^{3}}$

단계 9.2.2.2

$149.43487113$ 를 $49$ 에 더합니다.

$f'' (12.22435565) = \frac{59.52946133}{{198.43487113}^{3}}$

단계 9.2.2.3

$198.43487113$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (12.22435565) = \frac{59.52946133}{7813650.47871413}$

단계 9.2.3

$59.52946133$ 을 $7813650.47871413$ 로 나눕니다.

$f'' (12.22435565) = 0.00000761$

단계 9.2.4

최종 답은 $0.00000761$ 입니다.

$0.00000761$

단계 9.3

$12.22435565$ 에서의 이계도함수는 $7.61864911 E - 6$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(7 \sqrt{3}, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(7 \sqrt{3}, \infty)$ 에서 증가함

단계 10

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28}), (0, 0), (7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28})$ 입니다.

$(- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28}), (0, 0), (7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28})$

단계 11