미적분 예제

$\int (x + 1) e^{7 x^{2} + 14 x} d x$

단계 1

먼저 $u = 7 x^{2} + 14 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = (14 x + 14) d x$ 이므로 $\frac{1}{14} d u = (x + 1) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 7 x^{2} + 14 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$7 x^{2} + 14 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 14 x]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $7 x^{2} + 14 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x^{2}$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [14 x]$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$14 x + \frac{d}{d x} [14 x]$

단계 1.1.4

$\frac{d}{d x} [14 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.4.1

$14$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $14 x$ 의 미분은 $14 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$14 x + 14 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$14 x + 14 \cdot 1$

단계 1.1.4.3

$14$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$14 x + 14$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int e^{u} \frac{1}{14} d u$

단계 2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{14}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{e^{u}}{14} d u$

단계 3

$\frac{1}{14}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{14}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{14} \int e^{u} d u$

단계 4

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{1}{14} (e^{u} + C)$

단계 5

간단히 합니다.

$\frac{1}{14} e^{u} + C$

단계 6

$u$ 를 모두 $7 x^{2} + 14 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{14} e^{7 x^{2} + 14 x} + C$