미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{e^{3 x} - 1 - 3 x}{x^{2}}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{3 x} - 1 - 3 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{3 x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 3 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 1.1.2.2

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 3 x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 3 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 1.1.2.3

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{e^{3 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 3 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 1.1.2.4

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{e^{3 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 0} 3 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 1.1.2.5

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{e^{3 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - 3 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 1.1.2.6

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.6.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{e^{3 \cdot 0} - 1 \cdot 1 - 3 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 1.1.2.6.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{e^{3 \cdot 0} - 1 \cdot 1 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 1.1.2.7

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.7.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.7.1.1

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 1.1.2.7.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 1.1.2.7.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 1 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 1.1.2.7.1.4

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 1.1.2.7.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 1.1.2.7.3

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

단계 1.1.3.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0^{2}}$

단계 1.1.3.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{3 x} - 1 - 3 x}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x} - 1 - 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x} - 1 - 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $e^{3 x} - 1 - 3 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.3

$\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.3.1.3

$u$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.3.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.3.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.3.5

$e^{3 x}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} + 0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.5

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} + 0 - 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} + 0 - 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.5.3

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} + 0 - 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.6

$3 e^{3 x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} - 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} - 3}{2 x}$

단계 2

$\frac{1}{2}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} - 3}{x}$

단계 3

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 3 e^{3 x} - 3}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 3 e^{3 x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.1.2

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 0} e^{3 x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.1.3

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 e^{lim_{x \to 0} 3 x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.1.4

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 e^{3 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.1.5

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $3$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 e^{3 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 e^{3 \cdot 0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.3.1.1

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 e^{0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.3.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.3.1.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.3.1.4

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 3}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.3.2

$3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

단계 3.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

단계 3.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} - 3}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} - 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} - 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.2

합의 법칙에 의해 $3 e^{3 x} - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.3

$\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 e^{3 x}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.3.2.3

$u$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.3.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.3.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.3.6

$e^{3 x}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot 3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.3.7

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.4

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 e^{3 x} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.5

$9 e^{3 x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 e^{3 x}}{1}$

단계 3.4

$9 e^{3 x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 9 e^{3 x}$

단계 4

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$9$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot 9 lim_{x \to 0} e^{3 x}$

단계 4.2

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot 9 e^{lim_{x \to 0} 3 x}$

단계 4.3

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot 9 e^{3 lim_{x \to 0} x}$

단계 5

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 9 e^{3 \cdot 0}$

단계 6

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{1}{2}$ 와 $9$ 을 묶습니다.

$\frac{9}{2} e^{3 \cdot 0}$

단계 6.2

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{9}{2} e^{0}$

단계 6.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{9}{2} \cdot 1$

단계 6.4

$\frac{9}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{9}{2}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{9}{2}$

소수 형태:

$4.5$