미적분 예제

$\frac{5 x}{x^{2} - 7 x + 10} - \frac{4}{x^{2} - 25}$

단계 1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 7 x + 10$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $10$ 이고 합은 $- 7$ 입니다.

$- 5, - 2$

단계 1.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{5 x}{(x - 5) (x - 2)} - \frac{4}{x^{2} - 25}$

단계 1.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.2.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{5 x}{(x - 5) (x - 2)} - \frac{4}{x^{2} - 5^{2}}$

단계 1.2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 5$ 입니다.

$\frac{5 x}{(x - 5) (x - 2)} - \frac{4}{(x + 5) (x - 5)}$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{5 x}{(x - 5) (x - 2)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 을 곱합니다.

$\frac{5 x}{(x - 5) (x - 2)} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{4}{(x + 5) (x - 5)}$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{4}{(x + 5) (x - 5)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{5 x}{(x - 5) (x - 2)} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{4}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

단계 4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x - 5) (x - 2) (x + 5)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1

$\frac{5 x}{(x - 5) (x - 2)}$ 에 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 을 곱합니다.

$\frac{5 x (x + 5)}{(x - 5) (x - 2) (x + 5)} - \frac{4}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

단계 4.2

$\frac{4}{(x + 5) (x - 5)}$ 에 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{5 x (x + 5)}{(x - 5) (x - 2) (x + 5)} - \frac{4 (x - 2)}{(x + 5) (x - 5) (x - 2)}$

단계 4.3

$(x - 5) (x - 2) (x + 5)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{5 x (x + 5)}{(x + 5) (x - 2) (x - 5)} - \frac{4 (x - 2)}{(x + 5) (x - 5) (x - 2)}$

단계 4.4

$(x + 5) (x - 5) (x - 2)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{5 x (x + 5)}{(x + 5) (x - 2) (x - 5)} - \frac{4 (x - 2)}{(x + 5) (x - 2) (x - 5)}$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{5 x (x + 5) - 4 (x - 2)}{(x + 5) (x - 2) (x - 5)}$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 x \cdot x + 5 x \cdot 5 - 4 (x - 2)}{(x + 5) (x - 2) (x - 5)}$

단계 6.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 5 - 4 (x - 2)}{(x + 5) (x - 2) (x - 5)}$

단계 6.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{5 x^{2} + 5 x \cdot 5 - 4 (x - 2)}{(x + 5) (x - 2) (x - 5)}$

단계 6.3

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{5 x^{2} + 25 x - 4 (x - 2)}{(x + 5) (x - 2) (x - 5)}$

단계 6.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 x^{2} + 25 x - 4 x - 4 \cdot - 2}{(x + 5) (x - 2) (x - 5)}$

단계 6.5

$- 4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{5 x^{2} + 25 x - 4 x + 8}{(x + 5) (x - 2) (x - 5)}$

단계 6.6

$25 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$\frac{5 x^{2} + 21 x + 8}{(x + 5) (x - 2) (x - 5)}$