미적분 예제

$x = (1 + t) \sqrt{t}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{t}$ 을(를) $t^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x = (1 + t) t^{\frac{1}{2}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} ((1 + t) t^{\frac{1}{2}})$

단계 3

$x$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $x'$ 입니다.

$x'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$f (t) = 1 + t$ , $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

단계 4.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

단계 4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

단계 4.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

단계 4.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

단계 4.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

단계 4.7

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

단계 4.7.2

$\frac{1}{2}$ 와 $t^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$(1 + t) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

단계 4.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $t^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

단계 4.8

합의 법칙에 의해 $1 + t$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ 가 됩니다.

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t])$

단계 4.9

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d t} [t])$

단계 4.10

$0$ 를 $\frac{d}{d t} [t]$ 에 더합니다.

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

단계 4.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

단계 4.12

$t^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}}$

단계 4.13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.13.1

분배 법칙을 적용합니다.

$1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}}$

단계 4.13.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.13.2.1

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}}$

단계 4.13.2.2

$t$ 와 $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}}$

단계 4.13.2.3

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $t^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t \cdot t^{- \frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

단계 4.13.2.4

지수를 더하여 $t$ 에 $t^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.13.2.4.1

$t$ 에 $t^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.13.2.4.1.1

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{1} t^{- \frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

단계 4.13.2.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

단계 4.13.2.4.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

단계 4.13.2.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

단계 4.13.2.4.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

단계 4.13.2.5

공통 분모를 가지는 분수로 $t^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}$

단계 4.13.2.6

$t^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

단계 4.13.2.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

단계 4.13.2.8

$t^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot t^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 4.13.2.9

$t^{\frac{1}{2}}$ 를 $2 t^{\frac{1}{2}}$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$x' = \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 6

$x'$ 에 $\frac{d x}{d t}$ 를 대입합니다.

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$