미적분 예제

$3 {(\frac{3 x - x^{3}}{x^{2} - 4})}^{2} (\frac{- x^{4} + 9 x^{2} - 12}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

단계 1

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 {(\frac{3 x - x^{3}}{x^{2} - 4})}^{2} \frac{- x^{4} + 9 x^{2} - 12}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

단계 1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$3 {(\frac{3 x - x^{3}}{x^{2} - 4})}^{2} \frac{- x^{4} + 9 x^{2} - 12}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

단계 1.3

$(x + 2) (x - 2)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$3 {(\frac{3 x - x^{3}}{x^{2} - 4})}^{2} \frac{- x^{4} + 9 x^{2} - 12}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

단계 2

$3 x - x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1

$3 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$3 {(\frac{x \cdot 3 - x^{3}}{x^{2} - 4})}^{2} \frac{- x^{4} + 9 x^{2} - 12}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

단계 2.2

$- x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$3 {(\frac{x \cdot 3 + x (- x^{2})}{x^{2} - 4})}^{2} \frac{- x^{4} + 9 x^{2} - 12}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

단계 2.3

$x \cdot 3 + x (- x^{2})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$3 {(\frac{x (3 - x^{2})}{x^{2} - 4})}^{2} \frac{- x^{4} + 9 x^{2} - 12}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

단계 3

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 {(\frac{x (3 - x^{2})}{x^{2} - 2^{2}})}^{2} \frac{- x^{4} + 9 x^{2} - 12}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

단계 3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$3 {(\frac{x (3 - x^{2})}{(x + 2) (x - 2)})}^{2} \frac{- x^{4} + 9 x^{2} - 12}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

단계 4

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

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단계 4.1

$\frac{x (3 - x^{2})}{(x + 2) (x - 2)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$3 \frac{{(x (3 - x^{2}))}^{2}}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}} \frac{- x^{4} + 9 x^{2} - 12}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

단계 4.2

$x (3 - x^{2})$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$3 \frac{x^{2} {(3 - x^{2})}^{2}}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}} \frac{- x^{4} + 9 x^{2} - 12}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

단계 4.3

$(x + 2) (x - 2)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$3 \frac{x^{2} {(3 - x^{2})}^{2}}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} \frac{- x^{4} + 9 x^{2} - 12}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

단계 5

$3$ 와 $\frac{x^{2} {(3 - x^{2})}^{2}}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 (x^{2} {(3 - x^{2})}^{2})}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{- x^{4} + 9 x^{2} - 12}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

단계 6

$\frac{3 x^{2} {(3 - x^{2})}^{2}}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{- x^{4} + 9 x^{2} - 12}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 6.1

$\frac{3 x^{2} {(3 - x^{2})}^{2}}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ 에 $\frac{- x^{4} + 9 x^{2} - 12}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} {(3 - x^{2})}^{2} (- x^{4} + 9 x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}$

단계 6.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 x^{2} {(3 - x^{2})}^{2} (- x^{4} + 9 x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2 + 2} {(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

단계 6.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{2} {(3 - x^{2})}^{2} (- x^{4} + 9 x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

단계 6.4

지수를 더하여 ${(x - 2)}^{2}$ 에 ${(x - 2)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.4.1

${(x - 2)}^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 x^{2} {(3 - x^{2})}^{2} (- x^{4} + 9 x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{4} ({(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}$

단계 6.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 x^{2} {(3 - x^{2})}^{2} (- x^{4} + 9 x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{2 + 2}}$

단계 6.4.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{2} {(3 - x^{2})}^{2} (- x^{4} + 9 x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

단계 7

$- x^{4}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x^{2} {(3 - x^{2})}^{2} (- (x^{4}) + 9 x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

단계 8

$9 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x^{2} {(3 - x^{2})}^{2} (- (x^{4}) - (- 9 x^{2}) - 12)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

단계 9

$- (x^{4}) - (- 9 x^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x^{2} {(3 - x^{2})}^{2} (- (x^{4} - 9 x^{2}) - 12)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

단계 10

$- 12$ 을 $- 1 (12)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 x^{2} {(3 - x^{2})}^{2} (- (x^{4} - 9 x^{2}) - 1 (12))}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

단계 11

$- (x^{4} - 9 x^{2}) - 1 (12)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x^{2} {(3 - x^{2})}^{2} (- (x^{4} - 9 x^{2} + 12))}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

단계 12

식을 간단히 합니다.

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단계 12.1

$- (x^{4} - 9 x^{2} + 12)$ 을 $- 1 (x^{4} - 9 x^{2} + 12)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 x^{2} {(3 - x^{2})}^{2} (- 1 (x^{4} - 9 x^{2} + 12))}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

단계 12.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(3 x^{2} {(3 - x^{2})}^{2}) (x^{4} - 9 x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

단계 12.3

$- \frac{(3 x^{2} {(3 - x^{2})}^{2}) (x^{4} - 9 x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{3 x^{2} {(3 - x^{2})}^{2} (x^{4} - 9 x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$