미적분 예제

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} < \frac{3}{2}$

단계 1

부등식의 양변에서 $\frac{3}{2}$ 를 뺍니다.

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

단계 2

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$8 x^{3}$ 을 ${(2 x)}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(2 x)}^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

단계 2.1.1.2

$27$ 을 $3^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(2 x)}^{3} - 3^{3}}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

단계 2.1.1.3

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 2 x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$\frac{(2 x - 3) ({(2 x)}^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

단계 2.1.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.4.1

$2 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x - 3) (2^{2} x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

단계 2.1.1.4.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

단계 2.1.1.4.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

단계 2.1.1.4.4

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

단계 2.1.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ 이고 합이 $b = - 1$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.1

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} - (x) - 3} - \frac{3}{2} < 0$

단계 2.1.2.1.2

$- 1$ 를 $2$ + $- 3$ 로 다시 씁니다.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} + (2 - 3) x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

단계 2.1.2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

단계 2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(2 x^{2} + 2 x) - 3 x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

단계 2.1.2.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x (x + 1) - 3 (x + 1)} - \frac{3}{2} < 0$

단계 2.1.2.3

최대공약수 $x + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(x + 1) (2 x - 3)} - \frac{3}{2} < 0$

단계 2.1.3

$2 x - 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(x + 1) (2 x - 3)} - \frac{3}{2} < 0$

단계 2.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} - \frac{3}{2} < 0$

단계 2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} < 0$

단계 2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{3}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} < 0$

단계 2.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x + 1) \cdot 2$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} < 0$

단계 2.4.2

$\frac{3}{2}$ 에 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2} - \frac{3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

단계 2.4.3

$(x + 1) \cdot 2$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{2 (x + 1)} - \frac{3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

단계 2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

단계 2.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 x^{2} \cdot 2 + 6 x \cdot 2 + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

단계 2.6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.1

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x^{2} + 6 x \cdot 2 + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

단계 2.6.2.2

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

단계 2.6.2.3

$9$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

단계 2.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 x - 3 \cdot 1}{2 (x + 1)} < 0$

단계 2.6.4

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 x - 3}{2 (x + 1)} < 0$

단계 2.6.5

$12 x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 18 - 3}{2 (x + 1)} < 0$

단계 2.6.6

$18$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)} < 0$

단계 3

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$8 x^{2} + 9 x + 15 = 0$

$x + 1 = 0$

단계 4

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 5

이차함수의 근의 공식에 $a = 8$ , $b = 9$ , $c = 15$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 15)}}{2 \cdot 8}$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$9$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 8 \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

단계 6.1.2

$- 4 \cdot 8 \cdot 15$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1

$- 4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32 \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

단계 6.1.2.2

$- 32$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 480}}{2 \cdot 8}$

단계 6.1.3

$81$ 에서 $480$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 399}}{2 \cdot 8}$

단계 6.1.4

$- 399$ 을 $- 1 (399)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 399}}{2 \cdot 8}$

단계 6.1.5

$\sqrt{- 1 (399)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{399}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{399}}{2 \cdot 8}$

단계 6.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 9 \pm i \sqrt{399}}{2 \cdot 8}$

단계 6.2

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 9 \pm i \sqrt{399}}{16}$

단계 7

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = - \frac{9 - i \sqrt{399}}{16}, - \frac{9 + i \sqrt{399}}{16}$

단계 8

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 9

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = - \frac{9 - i \sqrt{399}}{16}, - \frac{9 + i \sqrt{399}}{16}$

$x = - 1$

단계 10

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$2 (x + 1) = 0$

단계 10.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$2 (x + 1) = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1.1

$2 (x + 1) = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 (x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

단계 10.2.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

단계 10.2.1.2.1.2

$x + 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x + 1 = \frac{0}{2}$

단계 10.2.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1.3.1

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$x + 1 = 0$

단계 10.2.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 10.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

단계 11

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - 1$

단계 12

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$x < - 1$

구간 표기:

$(- \infty, - 1)$

단계 13