미적분 예제

$e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 < 0$

단계 1

$e^{2 x}$ 을 지수 형태로 바꿔 씁니다.

${(e^{x})}^{2} - 3 e^{x} + 2 = 0$

단계 2

$e^{x}$ 에 $u$ 를 대입합니다.

$u^{2} - 3 u + 2 = 0$

단계 3

$u$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - 3 u + 2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $2$ 이고 합은 $- 3$ 입니다.

$- 2, - 1$

단계 3.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(u - 2) (u - 1) = 0$

단계 3.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$u - 2 = 0$

$u - 1 = 0$

단계 3.3

$u - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$u - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u - 2 = 0$

단계 3.3.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$u = 2$

단계 3.4

$u - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$u - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u - 1 = 0$

단계 3.4.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$u = 1$

단계 3.5

$(u - 2) (u - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$u = 2, 1$

단계 4

$u = e^{x}$ 의 $u$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$2 = e^{x}$

단계 5

$2 = e^{x}$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$e^{x} = 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$e^{x} = 2$

단계 5.2

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

단계 5.3

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{x})$ 을 전개합니다.

$x \ln (e) = \ln (2)$

단계 5.3.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$x \cdot 1 = \ln (2)$

단계 5.3.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \ln (2)$

단계 6

$u = e^{x}$ 의 $u$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$1 = e^{x}$

단계 7

$1 = e^{x}$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$e^{x} = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$e^{x} = 1$

단계 7.2

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

단계 7.3

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{x})$ 을 전개합니다.

$x \ln (e) = \ln (1)$

단계 7.3.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$x \cdot 1 = \ln (1)$

단계 7.3.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \ln (1)$

단계 7.4

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 8

방정식이 참이 되게 하는 해를 나열합니다.

$x = \ln (2), 0$

단계 9

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < 0$

$0 < x < \ln (2)$

$x > \ln (2)$

단계 10

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2$

단계 10.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2$ 로 치환합니다.

$e^{2 (- 2)} - 3 e^{- 2} + 2 < 0$

단계 10.1.3

좌변 $1.61230978$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 10.2

$0 < x < \ln (2)$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$0 < x < \ln (2)$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0.35$

단계 10.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0.35$ 로 치환합니다.

$e^{2 (0.35)} - 3 e^{0.35} + 2 < 0$

단계 10.2.3

좌변 $- 0.24344993$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 10.3

$x > \ln (2)$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

$x > \ln (2)$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 3$

단계 10.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $3$ 로 치환합니다.

$e^{2 (3)} - 3 e^{3} + 2 < 0$

단계 10.3.3

좌변 $345.17218272$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 10.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < 0$ 거짓

$0 < x < \ln (2)$ 참

$x > \ln (2)$ 거짓

$x < 0$ 거짓

$0 < x < \ln (2)$ 참

$x > \ln (2)$ 거짓

단계 11

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$0 < x < \ln (2)$

단계 12

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$0 < x < \ln (2)$

구간 표기:

$(0, \ln (2))$

단계 13