미적분 예제

$x^{2} y^{3} - 2 x y = 6 x + y + 1$

단계 1

방정식의 양변에서 $6 x$ 를 뺍니다.

$x^{2} y^{3} - 2 x y - 6 x = y + 1$

단계 2

모든 수식을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 2.1

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$x^{2} y^{3} - 2 x y - 6 x - y = 1$

단계 2.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x^{2} y^{3} - 2 x y - 6 x - y - 1 = 0$

단계 3

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 4

이차함수의 근의 공식에 $a = y^{3}$ , $b = - 2 y - 6$ , $c = - y - 1$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- (- 2 y - 6) \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot (y^{3} \cdot (- y - 1))}}{2 y^{3}}$

단계 5

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{- (- 2 y) + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y^{3} \cdot (- y - 1)}}{2 y^{3}}$

단계 5.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y^{3} \cdot (- y - 1)}}{2 y^{3}}$

단계 5.3

$- 1$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y^{3} \cdot (- y - 1)}}{2 y^{3}}$

단계 5.4

괄호를 표시합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot (y^{3} \cdot (- y - 1))}}{2 y^{3}}$

단계 5.5

$u = y^{3} \cdot (- y - 1)$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $y^{3} \cdot (- y - 1)$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

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단계 5.5.1

${(- 2 y - 6)}^{2}$ 을 $(- 2 y - 6) (- 2 y - 6)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{(- 2 y - 6) (- 2 y - 6) - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

단계 5.5.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(- 2 y - 6) (- 2 y - 6)$ 를 전개합니다.

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단계 5.5.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y - 6) - 6 (- 2 y - 6) - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

단계 5.5.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y - 6) - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

단계 5.5.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

단계 5.5.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.5.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y \cdot y) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

단계 5.5.3.1.2

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 5.5.3.1.2.1

$y$ 를 옮깁니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (y \cdot y)) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

단계 5.5.3.1.2.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y^{2}) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

단계 5.5.3.1.3

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

단계 5.5.3.1.4

$- 6$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 12 y - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

단계 5.5.3.1.5

$- 2$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 12 y + 12 y - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

단계 5.5.3.1.6

$- 6$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 12 y + 12 y + 36 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

단계 5.5.3.2

$12 y$ 를 $12 y$ 에 더합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 24 y + 36 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 24 y + 36 - 4 u}}{2 y^{3}}$

단계 5.6

$4 y^{2} + 24 y + 36 - 4 u$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.6.1

$4 y^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 24 y + 36 - 4 u}}{2 y^{3}}$

단계 5.6.2

$24 y$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (6 y) + 36 - 4 u}}{2 y^{3}}$

단계 5.6.3

$36$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (6 y) + 4 (9) - 4 u}}{2 y^{3}}$

단계 5.6.4

$- 4 u$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (6 y) + 4 (9) + 4 (- u)}}{2 y^{3}}$

단계 5.6.5

$4 (y^{2}) + 4 (6 y)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y) + 4 (9) + 4 (- u)}}{2 y^{3}}$

단계 5.6.6

$4 (y^{2} + 6 y) + 4 (9)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9) + 4 (- u)}}{2 y^{3}}$

단계 5.6.7

$4 (y^{2} + 6 y + 9) + 4 (- u)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - u)}}{2 y^{3}}$

단계 5.7

$u$ 를 모두 $y^{3} \cdot (- y - 1)$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (y^{3} \cdot (- y - 1)))}}{2 y^{3}}$

단계 5.8

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (y^{3} (- y) + y^{3} \cdot - 1))}}{2 y^{3}}$

단계 5.8.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{3} y + y^{3} \cdot - 1))}}{2 y^{3}}$

단계 5.8.3

$y^{3}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{3} y - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

단계 5.8.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.8.4.1

지수를 더하여 $y^{3}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 5.8.4.1.1

$y$ 를 옮깁니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- (y \cdot y^{3}) - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

단계 5.8.4.1.2

$y$ 에 $y^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 5.8.4.1.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- (y \cdot y^{3}) - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

단계 5.8.4.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{1 + 3} - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

단계 5.8.4.1.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{4} - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

단계 5.8.4.2

$- 1 y^{3}$ 을 $- y^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{4} - y^{3}))}}{2 y^{3}}$

단계 5.8.5

분배 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

단계 5.8.6

$- - y^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 5.8.6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + 1 y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

단계 5.8.6.2

$y^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

단계 5.8.7

$- - y^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 5.8.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + 1 y^{3})}}{2 y^{3}}$

단계 5.8.7.2

$y^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

단계 5.9

항을 다시 정렬합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)}}{2 y^{3}}$

단계 5.10

$4 (y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)$ 을 $2^{2} ({(y^{2})}^{2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 5.10.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{2^{2} (y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)}}{2 y^{3}}$

단계 5.10.2

$y^{4}$ 을 ${(y^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{2^{2} ({(y^{2})}^{2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)}}{2 y^{3}}$

단계 5.11

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm 2 \sqrt{{(y^{2})}^{2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{2 y^{3}}$

단계 5.12

${(y^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.12.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm 2 \sqrt{y^{2 \cdot 2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{2 y^{3}}$

단계 5.12.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 y + 6 \pm 2 \sqrt{y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{2 y^{3}}$

단계 6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = \frac{y + 3 + \sqrt{y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{y^{3}}$

$x = \frac{y + 3 - \sqrt{y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{y^{3}}$