미적분 예제

$x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18 > 0$

단계 1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18 = 0$

단계 2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x^{3} + 2 x^{2}) - 9 x - 18 = 0$

단계 2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$x^{2} (x + 2) - 9 (x + 2) = 0$

단계 2.2

최대공약수 $x + 2$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x + 2) (x^{2} - 9) = 0$

단계 2.3

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x + 2) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

단계 2.4

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$(x + 2) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

단계 2.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x + 2) (x + 3) (x - 3) = 0$

단계 3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

단계 4

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 4.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 5

$x + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 6

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 6.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 7

$(x + 2) (x + 3) (x - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 2, - 3, 3$

단계 8

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$x > 3$

단계 9

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 9.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

${(- 6)}^{3} + 2 {(- 6)}^{2} - 9 \cdot - 6 - 18 > 0$

단계 9.1.3

좌변 $- 108$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 9.2

$- 3 < x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$- 3 < x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2.5$

단계 9.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2.5$ 로 치환합니다.

${(- 2.5)}^{3} + 2 {(- 2.5)}^{2} - 9 \cdot - 2.5 - 18 > 0$

단계 9.2.3

좌변 $1.375$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 9.3

$- 2 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$- 2 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 9.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

${(0)}^{3} + 2 {(0)}^{2} - 9 \cdot 0 - 18 > 0$

단계 9.3.3

좌변 $- 18$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 9.4

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.1

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 9.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

${(6)}^{3} + 2 {(6)}^{2} - 9 \cdot 6 - 18 > 0$

단계 9.4.3

좌변 $216$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 9.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 3$ 거짓

$- 3 < x < - 2$ 참

$- 2 < x < 3$ 거짓

$x > 3$ 참

$x < - 3$ 거짓

$- 3 < x < - 2$ 참

$- 2 < x < 3$ 거짓

$x > 3$ 참

단계 10

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 3 < x < - 2$ 또는 $x > 3$

단계 11

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$- 3 < x < - 2 or x > 3$

구간 표기:

$(- 3, - 2) \cup (3, \infty)$

단계 12