미적분 예제

$6 k^{3} - 5 k^{2} < 4 k$

단계 1

부등식의 양변에서 $4 k$ 를 뺍니다.

$6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k < 0$

단계 2

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k = 0$

단계 3

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k$ 에서 $k$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$6 k^{3}$ 에서 $k$ 를 인수분해합니다.

$k (6 k^{2}) - 5 k^{2} - 4 k = 0$

단계 3.1.2

$- 5 k^{2}$ 에서 $k$ 를 인수분해합니다.

$k (6 k^{2}) + k (- 5 k) - 4 k = 0$

단계 3.1.3

$- 4 k$ 에서 $k$ 를 인수분해합니다.

$k (6 k^{2}) + k (- 5 k) + k \cdot - 4 = 0$

단계 3.1.4

$k (6 k^{2}) + k (- 5 k)$ 에서 $k$ 를 인수분해합니다.

$k (6 k^{2} - 5 k) + k \cdot - 4 = 0$

단계 3.1.5

$k (6 k^{2} - 5 k) + k \cdot - 4$ 에서 $k$ 를 인수분해합니다.

$k (6 k^{2} - 5 k - 4) = 0$

단계 3.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ 이고 합이 $b = - 5$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$- 5 k$ 에서 $- 5$ 를 인수분해합니다.

$k (6 k^{2} - 5 k - 4) = 0$

단계 3.2.1.1.2

$- 5$ 를 $3$ + $- 8$ 로 다시 씁니다.

$k (6 k^{2} + (3 - 8) k - 4) = 0$

단계 3.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$k (6 k^{2} + 3 k - 8 k - 4) = 0$

단계 3.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$k ((6 k^{2} + 3 k) - 8 k - 4) = 0$

단계 3.2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$k (3 k (2 k + 1) - 4 (2 k + 1)) = 0$

단계 3.2.1.3

최대공약수 $2 k + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$k ((2 k + 1) (3 k - 4)) = 0$

단계 3.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$k (2 k + 1) (3 k - 4) = 0$

단계 4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$k = 0$

$2 k + 1 = 0$

$3 k - 4 = 0$

단계 5

$k$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$k = 0$

단계 6

$2 k + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $k$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$2 k + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 k + 1 = 0$

단계 6.2

$2 k + 1 = 0$ 을 $k$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$2 k = - 1$

단계 6.2.2

$2 k = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$2 k = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 k}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 6.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 k}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 6.2.2.2.1.2

$k$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$k = \frac{- 1}{2}$

단계 6.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$k = - \frac{1}{2}$

단계 7

$3 k - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $k$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$3 k - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 k - 4 = 0$

단계 7.2

$3 k - 4 = 0$ 을 $k$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$3 k = 4$

단계 7.2.2

$3 k = 4$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$3 k = 4$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 k}{3} = \frac{4}{3}$

단계 7.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 k}{3} = \frac{4}{3}$

단계 7.2.2.2.1.2

$k$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$k = \frac{4}{3}$

단계 8

$k (2 k + 1) (3 k - 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$k = 0, - \frac{1}{2}, \frac{4}{3}$

단계 9

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$k < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < k < 0$

$0 < k < \frac{4}{3}$

$k > \frac{4}{3}$

단계 10

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$k < - \frac{1}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$k < - \frac{1}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$k = - 3$

단계 10.1.2

원래 부등식에서 $k$ 를 $- 3$ 로 치환합니다.

$6 {(- 3)}^{3} - 5 {(- 3)}^{2} < 4 (- 3)$

단계 10.1.3

좌변 $- 207$ 이 우변 $- 12$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 10.2

$- \frac{1}{2} < k < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$- \frac{1}{2} < k < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$k = - 0.25$

단계 10.2.2

원래 부등식에서 $k$ 를 $- 0.25$ 로 치환합니다.

$6 {(- 0.25)}^{3} - 5 {(- 0.25)}^{2} < 4 (- 0.25)$

단계 10.2.3

좌변 $- 0.40625$ 이 우변 $- 1$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 10.3

$0 < k < \frac{4}{3}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

$0 < k < \frac{4}{3}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$k = 1$

단계 10.3.2

원래 부등식에서 $k$ 를 $1$ 로 치환합니다.

$6 {(1)}^{3} - 5 {(1)}^{2} < 4 (1)$

단계 10.3.3

좌변 $1$ 이 우변 $4$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 10.4

$k > \frac{4}{3}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.1

$k > \frac{4}{3}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$k = 4$

단계 10.4.2

원래 부등식에서 $k$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$6 {(4)}^{3} - 5 {(4)}^{2} < 4 (4)$

단계 10.4.3

좌변 $304$ 이 우변 $16$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 10.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$k < - \frac{1}{2}$ 참

$- \frac{1}{2} < k < 0$ 거짓

$0 < k < \frac{4}{3}$ 참

$k > \frac{4}{3}$ 거짓

$k < - \frac{1}{2}$ 참

$- \frac{1}{2} < k < 0$ 거짓

$0 < k < \frac{4}{3}$ 참

$k > \frac{4}{3}$ 거짓

단계 11

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$k < - \frac{1}{2}$ 또는 $0 < k < \frac{4}{3}$

단계 12

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$k < - \frac{1}{2} or 0 < k < \frac{4}{3}$

구간 표기:

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (0, \frac{4}{3})$

단계 13