미적분 예제

${(e^{8 x - 1})}^{5}$

단계 1

${(e^{8 x - 1})}^{5}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{(8 x - 1) \cdot 5}]$

단계 1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{8 x \cdot 5 - 1 \cdot 5}]$

단계 1.3

$5$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{40 x - 1 \cdot 5}]$

단계 1.4

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{40 x - 5}]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 40 x - 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $40 x - 5$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [40 x - 5]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [40 x - 5]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $40 x - 5$ 로 바꿉니다.

$e^{40 x - 5} \frac{d}{d x} [40 x - 5]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $40 x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$e^{40 x - 5} (\frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

단계 3.2

$40$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $40 x$ 의 미분은 $40 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{40 x - 5} (40 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{40 x - 5} (40 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

단계 3.4

$40$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{40 x - 5} (40 + \frac{d}{d x} [- 5])$

단계 3.5

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$e^{40 x - 5} (40 + 0)$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$40$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{40 x - 5} \cdot 40$

단계 3.6.2

$e^{40 x - 5}$ 의 왼쪽으로 $40$ 이동하기

$40 e^{40 x - 5}$