미적분 예제

${(\frac{x + 6}{x - 6})}^{3}$

단계 1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \frac{x + 6}{x - 6}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x + 6}{x - 6}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{x - 6}]$

단계 1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{x - 6}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{x + 6}{x - 6}$ 로 바꿉니다.

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{x - 6}]$

단계 2

$f (x) = x + 6$ , $g (x) = x - 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{(x - 6) \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x + 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ 가 됩니다.

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{(x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{(x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

단계 3.3

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{(x - 6) (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

단계 3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{(x - 6) \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

단계 3.4.2

$x - 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{x - 6 - (x + 6) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

단계 3.5

합의 법칙에 의해 $x - 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 가 됩니다.

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{x - 6 - (x + 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

단계 3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{x - 6 - (x + 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

단계 3.7

$- 6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 6$ 입니다.

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{x - 6 - (x + 6) (1 + 0)}{{(x - 6)}^{2}}$

단계 3.8

분수를 통분합니다.

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단계 3.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{x - 6 - (x + 6) \cdot 1}{{(x - 6)}^{2}}$

단계 3.8.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{x - 6 - (x + 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

단계 3.8.3

$\frac{x - 6 - (x + 6)}{{(x - 6)}^{2}}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\frac{(x - 6 - (x + 6)) \cdot 3}{{(x - 6)}^{2}} {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2}$

단계 3.8.4

$x - 6 - (x + 6)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot (x - 6 - (x + 6))}{{(x - 6)}^{2}} {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{x + 6}{x - 6}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (x - 6 - (x + 6))}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (x - 6 - x - 1 \cdot 6)}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x + 3 \cdot - 6 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 6)}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

단계 4.4

항을 묶습니다.

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단계 4.4.1

$3$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x - 18 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 6)}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

단계 4.4.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x - 18 - 3 x + 3 (- 1 \cdot 6)}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

단계 4.4.3

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x - 18 - 3 x + 3 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

단계 4.4.4

$3$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x - 18 - 3 x - 18}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

단계 4.4.5

$3 x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

$\frac{0 - 18 - 18}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

단계 4.4.6

$0$ 에서 $18$ 을 뺍니다.

$\frac{- 18 - 18}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

단계 4.4.7

$- 18$ 에서 $18$ 을 뺍니다.

$\frac{- 36}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

단계 4.4.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{36}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

단계 4.4.9

$\frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$ 에 $\frac{36}{{(x - 6)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{{(x + 6)}^{2} \cdot 36}{{(x - 6)}^{2} {(x - 6)}^{2}}$

단계 4.4.10

지수를 더하여 ${(x - 6)}^{2}$ 에 ${(x - 6)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.4.10.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{{(x + 6)}^{2} \cdot 36}{{(x - 6)}^{2 + 2}}$

단계 4.4.10.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \frac{{(x + 6)}^{2} \cdot 36}{{(x - 6)}^{4}}$

단계 4.4.11

${(x + 6)}^{2}$ 의 왼쪽으로 $36$ 이동하기

$- \frac{36 {(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{4}}$