미적분 예제

$(x - 6) {(x + 2)}^{3}$

단계 1

$f (x) = x - 6$ , $g (x) = {(x + 2)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x - 6) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}] + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

단계 2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$(x - 6) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

단계 2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x - 6) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$(x - 6) (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$x - 6$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$3 \cdot (x - 6) {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2] + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

단계 3.4

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} (1 + 0) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

단계 3.5

식을 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} \cdot 1 + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

단계 3.5.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

단계 3.6

합의 법칙에 의해 $x - 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 가 됩니다.

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

단계 3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

단계 3.8

$- 6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 6$ 입니다.

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} (1 + 0)$

단계 3.9

식을 간단히 합니다.

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단계 3.9.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} \cdot 1$

단계 3.9.2

${(x + 2)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(3 x + 3 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3}$

단계 4.2

$3$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$(3 x - 18) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3}$

단계 4.3

$(3 x - 18) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3}$ 에서 ${(x + 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.3.1

$(3 x - 18) {(x + 2)}^{2}$ 에서 ${(x + 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

${(x + 2)}^{2} (3 x - 18) + {(x + 2)}^{3}$

단계 4.3.2

${(x + 2)}^{3}$ 에서 ${(x + 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

${(x + 2)}^{2} (3 x - 18) + {(x + 2)}^{2} (x + 2)$

단계 4.3.3

${(x + 2)}^{2} (3 x - 18) + {(x + 2)}^{2} (x + 2)$ 에서 ${(x + 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

${(x + 2)}^{2} (3 x - 18 + x + 2)$

단계 4.4

항을 묶습니다.

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단계 4.4.1

$3 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

${(x + 2)}^{2} (4 x - 18 + 2)$

단계 4.4.2

$- 18$ 를 $2$ 에 더합니다.

${(x + 2)}^{2} (4 x - 16)$

단계 4.5

${(x + 2)}^{2}$ 을 $(x + 2) (x + 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$(x + 2) (x + 2) (4 x - 16)$

단계 4.6

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 2) (x + 2)$ 를 전개합니다.

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단계 4.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(x (x + 2) + 2 (x + 2)) (4 x - 16)$

단계 4.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (4 x - 16)$

단계 4.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (4 x - 16)$

단계 4.7

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.7.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.7.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (4 x - 16)$

단계 4.7.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$(x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (4 x - 16)$

단계 4.7.1.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (4 x - 16)$

단계 4.7.2

$2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$(x^{2} + 4 x + 4) (4 x - 16)$

단계 4.8

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(x^{2} + 4 x + 4) (4 x - 16)$ 를 전개합니다.

$x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

단계 4.9

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.9.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

단계 4.9.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.9.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

단계 4.9.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.9.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

단계 4.9.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

단계 4.9.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$4 x^{3} + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

단계 4.9.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 16$ 이동하기

$4 x^{3} - 16 \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

단계 4.9.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

단계 4.9.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.9.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

단계 4.9.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

단계 4.9.6

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

단계 4.9.7

$- 16$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

단계 4.9.8

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 16 x + 4 \cdot - 16$

단계 4.9.9

$4$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 16 x - 64$

단계 4.10

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 16 x - 64$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.10.1

$- 16 x^{2}$ 를 $16 x^{2}$ 에 더합니다.

$4 x^{3} + 0 - 64 x + 16 x - 64$

단계 4.10.2

$4 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 x^{3} - 64 x + 16 x - 64$

단계 4.11

$- 64 x$ 를 $16 x$ 에 더합니다.

$4 x^{3} - 48 x - 64$