미적분 예제

${(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 4}$

단계 1

$f (x) = x^{- 4}$ , $g (x) = x^{4} - \frac{7}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{4} - \frac{7}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [x^{4} - \frac{7}{x}]$

단계 1.2

$n = - 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [x^{4} - \frac{7}{x}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x^{4} - \frac{7}{x}$ 로 바꿉니다.

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} \frac{d}{d x} [x^{4} - \frac{7}{x}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} - \frac{7}{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x}]$ 가 됩니다.

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x}])$

단계 2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x}])$

단계 2.3

$- 7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{7}{x}$ 의 미분은 $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} - 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

단계 2.4

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} - 7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

단계 2.5

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} - 7 (- x^{- 2}))$

단계 2.6

$- 1$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} + 7 x^{- 2})$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 4 \frac{1}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + 7 x^{- 2})$

단계 3.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 4 \frac{1}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + 7 \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.3

항을 묶습니다.

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단계 3.3.1

$- 4$ 와 $\frac{1}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + 7 \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + 7 \frac{1}{x^{2}})$

단계 3.3.3

$7$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + \frac{7}{x^{2}})$

단계 3.4

$- \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + \frac{7}{x^{2}})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- (4 x^{3} + \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}}$

단계 3.5

분배 법칙을 적용합니다.

$(- (4 x^{3}) - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}}$

단계 3.6

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}}$

단계 3.7

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.7.1

공통 분모를 가지는 분수로 $x^{4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{4} x}{x} - \frac{7}{x})}^{5}}$

단계 3.7.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{4} x - 7}{x})}^{5}}$

단계 3.7.3

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.7.3.1

$x^{4}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.7.3.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{4} x^{1} - 7}{x})}^{5}}$

단계 3.7.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{4 + 1} - 7}{x})}^{5}}$

단계 3.7.3.2

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{5} - 7}{x})}^{5}}$

단계 3.7.4

$\frac{x^{5} - 7}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{\frac{{(x^{5} - 7)}^{5}}{x^{5}}}$

단계 3.8

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) (4 \frac{x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}})$

단계 3.9

$4$ 와 $\frac{x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$ 을 묶습니다.

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

단계 3.10

$- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}$ 에 $\frac{4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) (4 x^{5})}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

단계 3.11

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.11.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 4 x^{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(- 4 x^{3} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{7}{x^{2}}) \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

단계 3.11.2

$- 4 x^{3}$ 와 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{(\frac{- 4 x^{3} x^{2}}{x^{2}} - \frac{7}{x^{2}}) \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

단계 3.11.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{- 4 x^{3} x^{2} - 7}{x^{2}} \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

단계 3.11.4

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.11.4.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{\frac{- 4 (x^{2} x^{3}) - 7}{x^{2}} \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

단계 3.11.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{- 4 x^{2 + 3} - 7}{x^{2}} \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

단계 3.11.4.3

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{- 4 x^{5} - 7}{x^{2}} \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

단계 3.11.5

지수를 묶습니다.

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단계 3.11.5.1

$\frac{- 4 x^{5} - 7}{x^{2}}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4}{x^{2}} x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

단계 3.11.5.2

$\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4}{x^{2}}$ 와 $x^{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{5}}{x^{2}}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

단계 3.11.6

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 3.11.6.1

공약수를 소거하여 수식 $\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{5}}{x^{2}}$ 을 간단히 정리합니다.

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단계 3.11.6.1.1

$(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{5}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{x^{2} ((- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3})}{x^{2}}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

단계 3.11.6.1.2

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x^{2} ((- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3})}{x^{2} \cdot 1}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

단계 3.11.6.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{x^{2} ((- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3})}{x^{2} \cdot 1}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

단계 3.11.6.1.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3}}{1}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

단계 3.11.6.2

$(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

단계 3.12

$- 4 x^{5} - 7$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{4 \cdot (- 4 x^{5} - 7) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

단계 3.13

$- 4 x^{5}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- (4 x^{5}) - 7) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

단계 3.14

$- 7$ 을 $- 1 (7)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4 (- (4 x^{5}) - 1 (7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

단계 3.15

$- (4 x^{5}) - 1 (7)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- (4 x^{5} + 7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

단계 3.16

$- (4 x^{5} + 7)$ 을 $- 1 (4 x^{5} + 7)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4 (- 1 (4 x^{5} + 7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

단계 3.17

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(4 (4 x^{5} + 7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

단계 3.18

$- \frac{(4 (4 x^{5} + 7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{(4) x^{3} (4 x^{5} + 7)}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$