미적분 예제

$\frac{x^{4} - 3 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 1

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$ , $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2}] - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

${({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2}] - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

단계 2.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2}] - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $x^{4} - 3 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

단계 2.3

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

단계 2.4

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{2}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

단계 2.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 3 (2 x)) - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

단계 2.6

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 6 x) - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

단계 3

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 6 x) - (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 6 x) - (x^{4} - 3 x^{2}) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 6 x) - (x^{4} - 3 x^{2}) (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

단계 4

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

단계 4.2

${(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$ 에서 $x^{2} - 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

${(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 6 x)$ 에서 $x^{2} - 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x)) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

단계 4.2.2

$- 2 (x^{4} - 3 x^{2}) ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$ 에서 $x^{2} - 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x)) + (x^{2} - 1) (- 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

단계 4.2.3

$(x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x)) + (x^{2} - 1) (- 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$ 에서 $x^{2} - 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

단계 5

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

${(x^{2} - 1)}^{4}$ 에서 $x^{2} - 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 5.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 5.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 6

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 8

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 9

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 9.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 4 (x^{4} - 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) + (- 4 x^{4} - 4 (- 3 x^{2})) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} (4 x^{3} - 6 x) - 1 (4 x^{3} - 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.3.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 6 x) - 1 (4 x^{3} - 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.3.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 6 x) - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.3.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{4 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 6 x) - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.3.1.2.1.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1.2.1.2.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$\frac{4 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (- 6 x) - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.3.1.2.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4 x^{3 + 2} + x^{2} (- 6 x) - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.3.1.2.1.2.3

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{4 x^{5} + x^{2} (- 6 x) - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.3.1.2.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{4 x^{5} - 6 x^{2} x - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.3.1.2.1.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1.2.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{4 x^{5} - 6 (x \cdot x^{2}) - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.3.1.2.1.4.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1.2.1.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{4 x^{5} - 6 (x^{1} x^{2}) - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.3.1.2.1.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4 x^{5} - 6 x^{1 + 2} - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.3.1.2.1.4.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{4 x^{5} - 6 x^{3} - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.3.1.2.1.5

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{5} - 6 x^{3} - 4 x^{3} - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.3.1.2.1.6

$- 6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{5} - 6 x^{3} - 4 x^{3} + 6 x - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.3.1.2.2

$- 6 x^{3}$ 에서 $4 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.3.1.3

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 (x \cdot x^{4}) - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.3.1.3.2

$x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 (x^{1} x^{4}) - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.3.1.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{1 + 4} - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.3.1.3.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{5} - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.3.1.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{5} - 4 (- 3 (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.3.1.4.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{5} - 4 (- 3 (x^{1} x^{2}))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.3.1.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{5} - 4 (- 3 x^{1 + 2})}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.3.1.4.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{5} - 4 (- 3 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.3.1.5

$- 3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{5} + 12 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.3.2

$4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{5} + 12 x^{3}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.1

$4 x^{5}$ 에서 $4 x^{5}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 10 x^{3} + 6 x + 0 + 12 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.3.2.2

$- 10 x^{3} + 6 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- 10 x^{3} + 6 x + 12 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.3.3

$- 10 x^{3}$ 를 $12 x^{3}$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3} + 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.4

$2 x^{3} + 6 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.1

$2 x^{3}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (x^{2}) + 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.4.2

$6 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (x^{2}) + 2 x (3)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.4.3

$2 x (x^{2}) + 2 x (3)$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 10.5

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(x^{2} - 1^{2})}^{3}}$

단계 10.5.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{((x + 1) (x - 1))}^{3}}$

단계 10.5.3

$(x + 1) (x - 1)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$