미적분 예제

${(x^{2} - 7 x - 1)}^{- 8}$

단계 1

$f (x) = x^{- 8}$ , $g (x) = x^{2} - 7 x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 7 x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- 8}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x - 1]$

단계 1.2

$n = - 8$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 8 u^{- 9} \frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x - 1]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 7 x - 1$ 로 바꿉니다.

$- 8 {(x^{2} - 7 x - 1)}^{- 9} \frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x - 1]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 7 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$- 8 {(x^{2} - 7 x - 1)}^{- 9} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 8 {(x^{2} - 7 x - 1)}^{- 9} (2 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 2.3

$- 7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 7 x$ 의 미분은 $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 8 {(x^{2} - 7 x - 1)}^{- 9} (2 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 8 {(x^{2} - 7 x - 1)}^{- 9} (2 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 2.5

$- 7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 8 {(x^{2} - 7 x - 1)}^{- 9} (2 x - 7 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 2.6

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$- 8 {(x^{2} - 7 x - 1)}^{- 9} (2 x - 7 + 0)$

단계 2.7

$2 x - 7$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 8 {(x^{2} - 7 x - 1)}^{- 9} (2 x - 7)$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 8 \frac{1}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}} (2 x - 7)$

단계 3.2

항을 묶습니다.

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단계 3.2.1

$- 8$ 와 $\frac{1}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 8}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}} (2 x - 7)$

단계 3.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{8}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}} (2 x - 7)$

단계 3.3

$- \frac{8}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}} (2 x - 7)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- (2 x - 7) \frac{8}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

단계 3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$(- (2 x) - - 7) \frac{8}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

단계 3.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(- 2 x - - 7) \frac{8}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

단계 3.6

$- 1$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$(- 2 x + 7) \frac{8}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

단계 3.7

$- 2 x + 7$ 에 $\frac{8}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(- 2 x + 7) \cdot 8}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

단계 3.8

$- 2 x + 7$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$\frac{8 \cdot (- 2 x + 7)}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

단계 3.9

$- 2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 (- (2 x) + 7)}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

단계 3.10

$7$ 을 $- 1 (- 7)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{8 (- (2 x) - 1 (- 7))}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

단계 3.11

$- (2 x) - 1 (- 7)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 (- (2 x - 7))}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

단계 3.12

$- (2 x - 7)$ 을 $- 1 (2 x - 7)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{8 (- 1 (2 x - 7))}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

단계 3.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{8 (2 x - 7)}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$