미적분 예제

$\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{7} - 2}$

단계 1

$f (x) = x^{2} - 3 x + 2$ , $g (x) = x^{7} - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{7} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2] - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 3 x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{7} - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 2.3

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 2.5

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 2.6

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3 + 0) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 2.7

$2 x - 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 2.8

합의 법칙에 의해 $x^{7} - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 2.9

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 2) (7 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 2.10

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 2) (7 x^{6} + 0)}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 2.11

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.1

$7 x^{6}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 2) (7 x^{6})}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 2.11.2

$7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - 7 (x^{2} - 3 x + 2) x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) + (- 7 x^{2} - 7 (- 3 x) - 7 \cdot 2) x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x^{7} - 2) (2 x - 3)$ 를 전개합니다.

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단계 3.3.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{7} (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.3.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{7} (2 x) + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x - 3) - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.3.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{7} (2 x) + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.3.1.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{7} x + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.3.1.2.2

지수를 더하여 $x^{7}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.1.2.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (x \cdot x^{7}) + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.3.1.2.2.2

$x$ 에 $x^{7}$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.1.2.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x^{7}) + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.3.1.2.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{1 + 7} + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.3.1.2.2.3

$1$ 를 $7$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{8} + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.3.1.2.3

$x^{7}$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$\frac{2 x^{8} - 3 \cdot x^{7} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.3.1.2.4

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.3.1.2.5

$- 2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.3.1.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{6}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.3.1

$x^{6}$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 (x^{6} x^{2}) - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.3.1.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{6 + 2} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.3.1.3.3

$6$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.3.1.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{6}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.4.1

$x^{6}$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} - 7 (- 3 (x^{6} x)) - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.3.1.4.2

$x^{6}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} - 7 (- 3 (x^{6} x^{1})) - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.3.1.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} - 7 (- 3 x^{6 + 1}) - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.3.1.4.3

$6$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} - 7 (- 3 x^{7}) - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.3.1.5

$- 3$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} + 21 x^{7} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.3.1.6

$- 7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} + 21 x^{7} - 14 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.3.2

$2 x^{8}$ 에서 $7 x^{8}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 5 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 + 21 x^{7} - 14 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.3.3

$- 3 x^{7}$ 를 $21 x^{7}$ 에 더합니다.

$\frac{- 5 x^{8} + 18 x^{7} - 4 x + 6 - 14 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 5 x^{8} + 18 x^{7} - 14 x^{6} - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.5

$- 5 x^{8}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (5 x^{8}) + 18 x^{7} - 14 x^{6} - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.6

$18 x^{7}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (5 x^{8}) - (- 18 x^{7}) - 14 x^{6} - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.7

$- (5 x^{8}) - (- 18 x^{7})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7}) - 14 x^{6} - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.8

$- 14 x^{6}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7}) - (14 x^{6}) - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.9

$- (5 x^{8} - 18 x^{7}) - (14 x^{6})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6}) - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.10

$- 4 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6}) - (4 x) + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.11

$- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6}) - (4 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x) + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.12

$6$ 을 $- 1 (- 6)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x) - 1 (- 6)}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.13

$- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x) - 1 (- 6)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x - 6)}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.14

$- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x - 6)$ 을 $- 1 (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x - 6)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x - 6)}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

단계 3.15

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x - 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$