미적분 예제

${(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

단계 1

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $g (x) = x^{2} - 2 x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 2 x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

단계 1.2

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 2 x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

단계 3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

단계 4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

단계 5

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

단계 5.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

단계 6

분수를 통분합니다.

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단계 6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 2 x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

단계 6.2

$\frac{2}{3}$ 와 ${(x^{2} - 2 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

단계 6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} - 2 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

단계 7

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 2 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 9

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 11

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 12

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x - 2 + 0)$

단계 13

$2 x - 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x - 2)$

단계 14

간단히 합니다.

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단계 14.1

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x - 2)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(2 x - 2) \frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 14.2

$2 x - 2$ 에 $\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x - 2) \cdot 2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 14.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 14.3.1

$2 x - 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 14.3.1.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(2 (x) - 2) \cdot 2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 14.3.1.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(2 (x) + 2 (- 1)) \cdot 2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 14.3.1.3

$2 (x) + 2 (- 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x - 1) \cdot 2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 14.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$