미적분 예제

${(1 + x)}^{\cot (x)}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 1.1

${(1 + x)}^{\cot (x)}$ 을 $e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}]$

단계 1.2

$\cot (x)$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})$ 을 전개합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\cot (x) \ln (1 + x)}]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \cot (x) \ln (1 + x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\cot (x) \ln (1 + x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (1 + x)]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (1 + x)]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\cot (x) \ln (1 + x)$ 로 바꿉니다.

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (1 + x)]$

단계 3

$f (x) = \cot (x)$ , $g (x) = \ln (1 + x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) \frac{d}{d x} [\ln (1 + x)] + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

단계 4

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 1 + x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $1 + x$ 로 바꿉니다.

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + x]) + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

단계 4.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $1 + x$ 로 바꿉니다.

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) (\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]) + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{1 + x}$ 와 $\cot (x)$ 을 묶습니다.

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x] + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

단계 5.2

합의 법칙에 의해 $1 + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

단계 5.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

단계 5.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x]$ 에 더합니다.

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

단계 5.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} \cdot 1 + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

단계 5.6

$\frac{\cot (x)}{1 + x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

단계 6

$\cot (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc^{2} (x)$ 입니다.

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} + \ln (1 + x) (- \csc^{2} (x)))$

단계 7

공통 분모를 가지는 분수로 $\ln (1 + x) (- \csc^{2} (x))$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 + x}{1 + x}$ 을 곱합니다.

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} + \frac{\ln (1 + x) (- \csc^{2} (x)) (1 + x)}{1 + x})$

단계 8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \frac{\cot (x) + \ln (1 + x) (- \csc^{2} (x)) (1 + x)}{1 + x}$

단계 9

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)}$ 와 $\frac{\cot (x) + \ln (1 + x) (- \csc^{2} (x)) (1 + x)}{1 + x}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) + \ln (1 + x) (- \csc^{2} (x)) (1 + x))}{1 + x}$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 10.1.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 10.1.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) - \ln (1 + x) \csc^{2} (x) (1 + x))}{1 + x}$

단계 10.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) - \ln (1 + x) \csc^{2} (x) \cdot 1 - \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x)}{1 + x}$

단계 10.1.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) - \ln (1 + x) \csc^{2} (x) - \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x)}{1 + x}$

단계 10.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) + e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (- \ln (1 + x) \csc^{2} (x)) + e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (- \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x)}{1 + x}$

단계 10.1.3

간단히 합니다.

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단계 10.1.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) + e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (- \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x)}{1 + x}$

단계 10.1.3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x}{1 + x}$

단계 10.1.4

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) - x e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x)}{1 + x}$

단계 10.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \csc^{2} (x) \ln (1 + x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} x \csc^{2} (x) \ln (1 + x)}{x + 1}$