미적분 예제

$\frac{1 - 6 x}{e^{3 x}}$

단계 1

$f (x) = 1 - 6 x$ , $g (x) = e^{3 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [1 - 6 x] - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{{(e^{3 x})}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

${(e^{3 x})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [1 - 6 x] - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{3 x \cdot 2}}$

단계 2.1.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [1 - 6 x] - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $1 - 6 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ 가 됩니다.

$\frac{e^{3 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 x]) - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

단계 2.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{e^{3 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x]) - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

단계 2.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ 에 더합니다.

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [- 6 x] - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

단계 2.5

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 x$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{e^{3 x} (- 6 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{3 x} (- 6 \cdot 1) - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

단계 2.7

식을 간단히 합니다.

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단계 2.7.1

$- 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{3 x} \cdot - 6 - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

단계 2.7.2

$e^{3 x}$ 의 왼쪽으로 $- 6$ 이동하기

$\frac{- 6 \cdot e^{3 x} - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

단계 3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{- 6 e^{3 x} - (1 - 6 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{- 6 e^{3 x} - (1 - 6 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{- 6 e^{3 x} - (1 - 6 x) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{- 6 e^{3 x} - (1 - 6 x) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

단계 4.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 (1 - 6 x) (e^{3 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

단계 4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 (1 - 6 x) (e^{3 x} \cdot 1)}{e^{6 x}}$

단계 4.4

$e^{3 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 (1 - 6 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 6 e^{3 x} + (- 3 \cdot 1 - 3 (- 6 x)) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 \cdot 1 e^{3 x} - 3 (- 6 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

단계 5.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1.1

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 e^{3 x} - 3 (- 6 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

단계 5.3.1.2

$- 6$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 e^{3 x} + 18 x e^{3 x}}{e^{6 x}}$

단계 5.3.2

$- 6 e^{3 x}$ 에서 $3 e^{3 x}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 9 e^{3 x} + 18 x e^{3 x}}{e^{6 x}}$

단계 5.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{18 e^{3 x} x - 9 e^{3 x}}{e^{6 x}}$

단계 5.5

$18 e^{3 x} x - 9 e^{3 x}$ 에서 $9 e^{3 x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.5.1

$18 e^{3 x} x$ 에서 $9 e^{3 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{9 e^{3 x} (2 x) - 9 e^{3 x}}{e^{6 x}}$

단계 5.5.2

$- 9 e^{3 x}$ 에서 $9 e^{3 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{9 e^{3 x} (2 x) + 9 e^{3 x} (- 1)}{e^{6 x}}$

단계 5.5.3

$9 e^{3 x} (2 x) + 9 e^{3 x} (- 1)$ 에서 $9 e^{3 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{9 e^{3 x} (2 x - 1)}{e^{6 x}}$

단계 5.6

$e^{3 x}$ 및 $e^{6 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.6.1

$9 e^{3 x} (2 x - 1)$ 에서 $e^{6 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{6 x} (9 e^{- 3 x} (2 x - 1))}{e^{6 x}}$

단계 5.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.6.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{6 x} (9 e^{- 3 x} (2 x - 1))}{e^{6 x} \cdot 1}$

단계 5.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{6 x} (9 e^{- 3 x} (2 x - 1))}{e^{6 x} \cdot 1}$

단계 5.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{9 e^{- 3 x} (2 x - 1)}{1}$

단계 5.6.2.4

$9 e^{- 3 x} (2 x - 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$9 e^{- 3 x} (2 x - 1)$

단계 5.7

분배 법칙을 적용합니다.

$9 e^{- 3 x} (2 x) + 9 e^{- 3 x} \cdot - 1$

단계 5.8

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$9 \cdot 2 e^{- 3 x} x + 9 e^{- 3 x} \cdot - 1$

단계 5.9

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$9 \cdot 2 e^{- 3 x} x - 9 e^{- 3 x}$

단계 5.10

$9$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$18 e^{- 3 x} x - 9 e^{- 3 x}$

단계 5.11

$18 e^{- 3 x} x - 9 e^{- 3 x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$18 x e^{- 3 x} - 9 e^{- 3 x}$