미적분 예제

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

미분합니다.

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단계 1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

단계 1.1.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 x^{2}$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x)$

단계 1.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (9 x)$

단계 1.1.2.3

$2$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (9 x)$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [9 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 \cdot 1$

단계 1.1.3.3

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $3 x^{2} - 12 x + 9$ 입니다.

$3 x^{2} - 12 x + 9$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 2.2.1

$3 x^{2} - 12 x + 9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.1.1

$3 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (x^{2}) - 12 x + 9 = 0$

단계 2.2.1.2

$- 12 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) + 9 = 0$

단계 2.2.1.3

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

단계 2.2.1.4

$3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

단계 2.2.1.5

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

단계 2.2.2

인수분해합니다.

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단계 2.2.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 4 x + 3$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $3$ 이고 합은 $- 4$ 입니다.

$- 3, - 1$

단계 2.2.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$3 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

단계 2.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$3 (x - 3) (x - 1) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

단계 2.4

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 2.5

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.5.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 2.6

$3 (x - 3) (x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 3, 1$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $3, 1$ 입니다.

$3, 1$

단계 4

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

단계 5

$(- \infty, 1)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 9$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 9$

단계 5.2.1.2

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f' (0) = 0 - 12 \cdot 0 + 9$

단계 5.2.1.3

$- 12$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f' (0) = 0 + 0 + 9$

단계 5.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 5.2.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (0) = 0 + 9$

단계 5.2.2.2

$0$ 를 $9$ 에 더합니다.

$f' (0) = 9$

단계 5.2.3

최종 답은 $9$ 입니다.

$9$

단계 5.3

$x = 0$ 에서의 도함수는 $9$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \infty, 1)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, 1)$ 에서 증가함

단계 6

$(1, 3)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f' (2) = 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 + 9$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (2) = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 9$

단계 6.2.1.2

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (2) = 12 - 12 \cdot 2 + 9$

단계 6.2.1.3

$- 12$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (2) = 12 - 24 + 9$

단계 6.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$12$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$f' (2) = - 12 + 9$

단계 6.2.2.2

$- 12$ 를 $9$ 에 더합니다.

$f' (2) = - 3$

단계 6.2.3

최종 답은 $- 3$ 입니다.

$- 3$

단계 6.3

$x = 2$ 에서의 도함수는 $- 3$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(1, 3)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(1, 3)$ 에서 감소함

단계 7

$(3, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 12 \cdot 4 + 9$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 12 \cdot 4 + 9$

단계 7.2.1.2

$3$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f' (4) = 48 - 12 \cdot 4 + 9$

단계 7.2.1.3

$- 12$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (4) = 48 - 48 + 9$

단계 7.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$48$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$f' (4) = 0 + 9$

단계 7.2.2.2

$0$ 를 $9$ 에 더합니다.

$f' (4) = 9$

단계 7.2.3

최종 답은 $9$ 입니다.

$9$

단계 7.3

$x = 4$ 에서의 도함수는 $9$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(3, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(3, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \infty, 1), (3, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(1, 3)$

단계 9