미적분 예제

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) (x)$

단계 1

$f (x) = (30 - 2 x) (14 - 2 x)$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [(30 - 2 x) (14 - 2 x)]$

단계 2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [(30 - 2 x) (14 - 2 x)]$

단계 2.2

$30 - 2 x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x \frac{d}{d x} [(30 - 2 x) (14 - 2 x)]$

단계 3

$f (x) = 30 - 2 x$ , $g (x) = 14 - 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x ((30 - 2 x) \frac{d}{d x} [14 - 2 x] + (14 - 2 x) \frac{d}{d x} [30 - 2 x])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $14 - 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [14] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 가 됩니다.

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x ((30 - 2 x) (\frac{d}{d x} [14] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (14 - 2 x) \frac{d}{d x} [30 - 2 x])$

단계 4.2

$14$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $14$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $14$ 입니다.

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x ((30 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (14 - 2 x) \frac{d}{d x} [30 - 2 x])$

단계 4.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 에 더합니다.

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x ((30 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (14 - 2 x) \frac{d}{d x} [30 - 2 x])$

단계 4.4

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x ((30 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (14 - 2 x) \frac{d}{d x} [30 - 2 x])$

단계 4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x ((30 - 2 x) (- 2 \cdot 1) + (14 - 2 x) \frac{d}{d x} [30 - 2 x])$

단계 4.6

식을 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x ((30 - 2 x) \cdot - 2 + (14 - 2 x) \frac{d}{d x} [30 - 2 x])$

단계 4.6.2

$30 - 2 x$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x (- 2 \cdot (30 - 2 x) + (14 - 2 x) \frac{d}{d x} [30 - 2 x])$

단계 4.7

합의 법칙에 의해 $30 - 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 가 됩니다.

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x (- 2 (30 - 2 x) + (14 - 2 x) (\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- 2 x]))$

단계 4.8

$30$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $30$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $30$ 입니다.

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x (- 2 (30 - 2 x) + (14 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]))$

단계 4.9

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 에 더합니다.

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x (- 2 (30 - 2 x) + (14 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 4.10

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x (- 2 (30 - 2 x) + (14 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 4.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x (- 2 (30 - 2 x) + (14 - 2 x) (- 2 \cdot 1))$

단계 4.12

식을 간단히 합니다.

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단계 4.12.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x (- 2 (30 - 2 x) + (14 - 2 x) \cdot - 2)$

단계 4.12.2

$14 - 2 x$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x (- 2 (30 - 2 x) - 2 \cdot (14 - 2 x))$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x (- 2 \cdot 30 - 2 (- 2 x) - 2 (14 - 2 x))$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x (- 2 \cdot 30 - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 14 - 2 (- 2 x))$

단계 5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(30 - 2 x) (14 - 2 x) + x (- 2 \cdot 30) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

단계 5.4

분배 법칙을 적용합니다.

$(30 - 2 x) \cdot 14 + (30 - 2 x) (- 2 x) + x (- 2 \cdot 30) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

단계 5.5

분배 법칙을 적용합니다.

$30 \cdot 14 - 2 x \cdot 14 + (30 - 2 x) (- 2 x) + x (- 2 \cdot 30) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

단계 5.6

분배 법칙을 적용합니다.

$30 \cdot 14 - 2 x \cdot 14 + 30 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + x (- 2 \cdot 30) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

단계 5.7

항을 묶습니다.

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단계 5.7.1

$30$ 에 $14$ 을 곱합니다.

$420 - 2 x \cdot 14 + 30 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + x (- 2 \cdot 30) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

단계 5.7.2

$14$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$420 - 28 x + 30 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + x (- 2 \cdot 30) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

단계 5.7.3

$- 2$ 에 $30$ 을 곱합니다.

$420 - 28 x - 60 x - 2 x (- 2 x) + x (- 2 \cdot 30) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

단계 5.7.4

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$420 - 28 x - 60 x + 4 x \cdot x + x (- 2 \cdot 30) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

단계 5.7.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$420 - 28 x - 60 x + 4 (x^{1} x) + x (- 2 \cdot 30) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

단계 5.7.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$420 - 28 x - 60 x + 4 (x^{1} x^{1}) + x (- 2 \cdot 30) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

단계 5.7.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$420 - 28 x - 60 x + 4 x^{1 + 1} + x (- 2 \cdot 30) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

단계 5.7.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$420 - 28 x - 60 x + 4 x^{2} + x (- 2 \cdot 30) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

단계 5.7.9

$- 28 x$ 에서 $60 x$ 을 뺍니다.

$420 - 88 x + 4 x^{2} + x (- 2 \cdot 30) + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

단계 5.7.10

$- 2$ 에 $30$ 을 곱합니다.

$420 - 88 x + 4 x^{2} + x \cdot - 60 + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

단계 5.7.11

$x$ 의 왼쪽으로 $- 60$ 이동하기

$420 - 88 x + 4 x^{2} - 60 \cdot x + x (- 2 (- 2 x)) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

단계 5.7.12

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$420 - 88 x + 4 x^{2} - 60 x + x (4 x) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

단계 5.7.13

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$420 - 88 x + 4 x^{2} - 60 x + 4 (x^{1} x) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

단계 5.7.14

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$420 - 88 x + 4 x^{2} - 60 x + 4 (x^{1} x^{1}) + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

단계 5.7.15

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$420 - 88 x + 4 x^{2} - 60 x + 4 x^{1 + 1} + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

단계 5.7.16

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$420 - 88 x + 4 x^{2} - 60 x + 4 x^{2} + x (- 2 \cdot 14) + x (- 2 (- 2 x))$

단계 5.7.17

$- 2$ 에 $14$ 을 곱합니다.

$420 - 88 x + 4 x^{2} - 60 x + 4 x^{2} + x \cdot - 28 + x (- 2 (- 2 x))$

단계 5.7.18

$x$ 의 왼쪽으로 $- 28$ 이동하기

$420 - 88 x + 4 x^{2} - 60 x + 4 x^{2} - 28 \cdot x + x (- 2 (- 2 x))$

단계 5.7.19

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$420 - 88 x + 4 x^{2} - 60 x + 4 x^{2} - 28 x + x (4 x)$

단계 5.7.20

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$420 - 88 x + 4 x^{2} - 60 x + 4 x^{2} - 28 x + 4 (x^{1} x)$

단계 5.7.21

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$420 - 88 x + 4 x^{2} - 60 x + 4 x^{2} - 28 x + 4 (x^{1} x^{1})$

단계 5.7.22

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$420 - 88 x + 4 x^{2} - 60 x + 4 x^{2} - 28 x + 4 x^{1 + 1}$

단계 5.7.23

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$420 - 88 x + 4 x^{2} - 60 x + 4 x^{2} - 28 x + 4 x^{2}$

단계 5.7.24

$- 60 x$ 에서 $28 x$ 을 뺍니다.

$420 - 88 x + 4 x^{2} + 4 x^{2} - 88 x + 4 x^{2}$

단계 5.7.25

$4 x^{2}$ 를 $4 x^{2}$ 에 더합니다.

$420 - 88 x + 4 x^{2} + 8 x^{2} - 88 x$

단계 5.7.26

$4 x^{2}$ 를 $8 x^{2}$ 에 더합니다.

$420 - 88 x + 12 x^{2} - 88 x$

단계 5.7.27

$- 88 x$ 에서 $88 x$ 을 뺍니다.

$420 + 12 x^{2} - 176 x$

단계 5.8

항을 다시 정렬합니다.

$12 x^{2} - 176 x + 420$