미적분 예제

$(4 x + 1) {(1 - x)}^{3}$

단계 1

$f (x) = 4 x + 1$ , $g (x) = {(1 - x)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(4 x + 1) \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{3}] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

단계 2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 1 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 - x$ 로 바꿉니다.

$(4 x + 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

단계 2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(4 x + 1) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $1 - x$ 로 바꿉니다.

$(4 x + 1) (3 {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$4 x + 1$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$3 \cdot (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $1 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

단계 3.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

단계 3.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

단계 3.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

단계 3.6

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

단계 3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \cdot 1 + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

단계 3.8

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

단계 3.9

합의 법칙에 의해 $4 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3.10

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3.12

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3.13

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 + 0)$

단계 3.14

식을 간단히 합니다.

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단계 3.14.1

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} \cdot 4$

단계 3.14.2

${(1 - x)}^{3}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + 4 \cdot {(1 - x)}^{3}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(- 3 (4 x) - 3 \cdot 1) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$

단계 4.2

$4$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$(- 12 x - 3 \cdot 1) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$

단계 4.3

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(- 12 x - 3) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$

단계 4.4

$(- 12 x - 3) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$ 에서 ${(1 - x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.4.1

$(- 12 x - 3) {(1 - x)}^{2}$ 에서 ${(1 - x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3) + 4 {(1 - x)}^{3}$

단계 4.4.2

$4 {(1 - x)}^{3}$ 에서 ${(1 - x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3) + {(1 - x)}^{2} (4 (1 - x))$

단계 4.4.3

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3) + {(1 - x)}^{2} (4 (1 - x))$ 에서 ${(1 - x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

단계 4.5

${(1 - x)}^{2}$ 을 $(1 - x) (1 - x)$ 로 바꿔 씁니다.

$(1 - x) (1 - x) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

단계 4.6

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 - x) (1 - x)$ 를 전개합니다.

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단계 4.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(1 (1 - x) - x (1 - x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

단계 4.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

단계 4.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

단계 4.7

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.7.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.7.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

단계 4.7.1.2

$- x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(1 - x - x \cdot 1 - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

단계 4.7.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(1 - x - x - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

단계 4.7.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

단계 4.7.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.7.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

단계 4.7.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

단계 4.7.1.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(1 - x - x + 1 x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

단계 4.7.1.7

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(1 - x - x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

단계 4.7.2

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

단계 4.8

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 \cdot 1 + 4 (- x))$

단계 4.8.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 + 4 (- x))$

단계 4.8.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 - 4 x)$

단계 4.9

$- 12 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 16 x - 3 + 4)$

단계 4.10

$- 3$ 를 $4$ 에 더합니다.

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 16 x + 1)$

단계 4.11

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(1 - 2 x + x^{2}) (- 16 x + 1)$ 를 전개합니다.

$1 (- 16 x) + 1 \cdot 1 - 2 x (- 16 x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

단계 4.12

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.12.1

$- 16 x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 16 x + 1 \cdot 1 - 2 x (- 16 x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

단계 4.12.2

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 16 x + 1 - 2 x (- 16 x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

단계 4.12.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 16 x + 1 - 2 \cdot - 16 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

단계 4.12.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.12.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$- 16 x + 1 - 2 \cdot - 16 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

단계 4.12.4.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$- 16 x + 1 - 2 \cdot - 16 x^{2} - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

단계 4.12.5

$- 2$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

단계 4.12.6

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

단계 4.12.7

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{2} x + x^{2} \cdot 1$

단계 4.12.8

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.12.8.1

$x$ 를 옮깁니다.

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 1$

단계 4.12.8.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.12.8.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 1$

단계 4.12.8.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 1$

단계 4.12.8.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{3} + x^{2} \cdot 1$

단계 4.12.9

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{3} + x^{2}$

단계 4.13

$- 16 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$- 18 x + 1 + 32 x^{2} - 16 x^{3} + x^{2}$

단계 4.14

$32 x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$- 18 x + 1 - 16 x^{3} + 33 x^{2}$