미적분 예제

$(\frac{3}{x} + x) (\frac{3}{x} - x)$

단계 1

$f (x) = \frac{3}{x} + x$ , $g (x) = \frac{3}{x} - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(\frac{3}{x} + x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} - x] + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $\frac{3}{x} - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$(\frac{3}{x} + x) (\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

단계 2.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3}{x}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$(\frac{3}{x} + x) (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

단계 2.3

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$(\frac{3}{x} + x) (3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

단계 2.4

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(\frac{3}{x} + x) (3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

단계 2.5

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

단계 2.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

단계 2.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1 \cdot 1) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

단계 2.8

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

단계 2.9

합의 법칙에 의해 $\frac{3}{x} + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.10

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3}{x}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.11

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.12

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.13

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.14

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 x^{- 2} + 1)$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 \frac{1}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 x^{- 2} + 1)$

단계 3.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 \frac{1}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

단계 3.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 3$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$(\frac{3}{x} + x) (\frac{- 3}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

단계 3.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$(\frac{3}{x} + x) (- \frac{3}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

단계 3.3.3

$- 3$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$(\frac{3}{x} + x) (- \frac{3}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (\frac{- 3}{x^{2}} + 1)$

단계 3.3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$(\frac{3}{x} + x) (- \frac{3}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- \frac{3}{x^{2}} + 1)$

단계 3.4

항을 다시 정렬합니다.

$(- \frac{3}{x^{2}} - 1) (\frac{3}{x} + x) + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

단계 3.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(- \frac{3}{x^{2}} - 1) (\frac{3}{x} + x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{3}{x^{2}} (\frac{3}{x} + x) - 1 (\frac{3}{x} + x) + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

단계 3.5.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 (\frac{3}{x} + x) + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

단계 3.5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

단계 3.5.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.1

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.1.1

$\frac{3}{x}$ 에 $\frac{3}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{3 \cdot 3}{x \cdot x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

단계 3.5.2.1.1.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{9}{x \cdot x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

단계 3.5.2.1.1.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.1.3.1

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.1.3.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{9}{x^{1} x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

단계 3.5.2.1.1.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{9}{x^{1 + 2}} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

단계 3.5.2.1.1.3.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

단계 3.5.2.1.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.2.1

$- \frac{3}{x^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

단계 3.5.2.1.2.2

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x \cdot x} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

단계 3.5.2.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x \cdot x} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

단계 3.5.2.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x} - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

단계 3.5.2.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{3}{x} - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

단계 3.5.2.1.4

$- 1 \frac{3}{x}$ 을 $- \frac{3}{x}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{3}{x} - \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

단계 3.5.2.1.5

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{3}{x} - \frac{3}{x} - x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

단계 3.5.2.2

$- \frac{3}{x}$ 에서 $\frac{3}{x}$ 을 뺍니다.

$- \frac{9}{x^{3}} - 2 \frac{3}{x} - x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

단계 3.5.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1

$- 2 \frac{3}{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1.1

$- 2$ 와 $\frac{3}{x}$ 을 묶습니다.

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 2 \cdot 3}{x} - x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

단계 3.5.3.1.2

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 6}{x} - x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

단계 3.5.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

단계 3.5.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{3}{x^{2}} (\frac{3}{x} - x) + 1 (\frac{3}{x} - x)$

단계 3.5.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 (\frac{3}{x} - x)$

단계 3.5.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

단계 3.5.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.5.1.1

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.5.1.1.1

$\frac{3}{x}$ 에 $\frac{3}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{3 \cdot 3}{x \cdot x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

단계 3.5.5.1.1.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x \cdot x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

단계 3.5.5.1.1.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.5.1.1.3.1

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.5.1.1.3.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{1} x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

단계 3.5.5.1.1.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{1 + 2}} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

단계 3.5.5.1.1.3.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

단계 3.5.5.1.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.5.1.2.1

$- \frac{3}{x^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

단계 3.5.5.1.2.2

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x \cdot x} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

단계 3.5.5.1.2.3

$- x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x \cdot x} (x \cdot - 1) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

단계 3.5.5.1.2.4

공약수로 약분합니다.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x \cdot x} (x \cdot - 1) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

단계 3.5.5.1.2.5

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x} \cdot - 1 + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

단계 3.5.5.1.3

$\frac{- 3}{x}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3 \cdot - 1}{x} + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

단계 3.5.5.1.4

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{3}{x} + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

단계 3.5.5.1.5

$\frac{3}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{3}{x} + \frac{3}{x} + 1 (- x)$

단계 3.5.5.1.6

$- x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{3}{x} + \frac{3}{x} - x$

단계 3.5.5.2

$\frac{3}{x}$ 를 $\frac{3}{x}$ 에 더합니다.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + 2 \frac{3}{x} - x$

단계 3.5.6

$2 \frac{3}{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.6.1

$2$ 와 $\frac{3}{x}$ 을 묶습니다.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{2 \cdot 3}{x} - x$

단계 3.5.6.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{6}{x} - x$

단계 3.6

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{6}{x} - x$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$- \frac{6}{x}$ 를 $\frac{6}{x}$ 에 더합니다.

$- \frac{9}{x^{3}} - x - \frac{9}{x^{3}} + 0 - x$

단계 3.6.2

$- \frac{9}{x^{3}} - x - \frac{9}{x^{3}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{9}{x^{3}} - x - \frac{9}{x^{3}} - x$

단계 3.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- x - x + \frac{- 9 - 9}{x^{3}}$

단계 3.8

$- 9$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$- x - x + \frac{- 18}{x^{3}}$

단계 3.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- x - x - \frac{18}{x^{3}}$

단계 3.10

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$- 2 x - \frac{18}{x^{3}}$