미적분 예제

$(\frac{1}{x - 2}) (\frac{3}{x^{2} + 2})$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$\frac{1}{x - 2}$ 에 $\frac{3}{x^{2} + 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{(x - 2) (x^{2} + 2)}]$

단계 1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3}{(x - 2) (x^{2} + 2)}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{(x - 2) (x^{2} + 2)}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{(x - 2) (x^{2} + 2)}]$

단계 1.3

$\frac{1}{(x - 2) (x^{2} + 2)}$ 을 ${((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 \frac{d}{d x} [{((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 1}]$

단계 2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = (x - 2) (x^{2} + 2)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $(x - 2) (x^{2} + 2)$ 로 바꿉니다.

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2)])$

단계 2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2)])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $(x - 2) (x^{2} + 2)$ 로 바꿉니다.

$3 (- {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} \frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2)])$

단계 3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 ({((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} \frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2)])$

단계 4

$f (x) = x - 2$ , $g (x) = x^{2} + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2] + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

단계 5.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

단계 5.3

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) (2 x + 0) + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

단계 5.4

식을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) (2 x) + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

단계 5.4.2

$x - 2$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 \cdot (x - 2) x + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

단계 5.5

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + (x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

단계 5.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + (x^{2} + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

단계 5.7

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + (x^{2} + 2) (1 + 0))$

단계 5.8

식을 간단히 합니다.

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단계 5.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + (x^{2} + 2) \cdot 1)$

단계 5.8.2

$x^{2} + 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + x^{2} + 2)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 3 \frac{1}{{((x - 2) (x^{2} + 2))}^{2}} (2 (x - 2) x + x^{2} + 2)$

단계 6.2

$(x - 2) (x^{2} + 2)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 (x - 2) x + x^{2} + 2)$

단계 6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} ((2 x + 2 \cdot - 2) x + x^{2} + 2)$

단계 6.4

분배 법칙을 적용합니다.

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

단계 6.5

항을 묶습니다.

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단계 6.5.1

$- 3$ 와 $\frac{1}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

단계 6.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

단계 6.5.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

단계 6.5.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

단계 6.5.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

단계 6.5.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

단계 6.5.7

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x^{2} - 4 x + x^{2} + 2)$

단계 6.5.8

$2 x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (3 x^{2} - 4 x + 2)$

단계 6.6

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (3 x^{2} - 4 x + 2)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 6.7

분배 법칙을 적용합니다.

$(- (3 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 6.8

간단히 합니다.

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단계 6.8.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(- 3 x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 6.8.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(- 3 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 6.8.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(- 3 x^{2} + 4 x - 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 6.9

$- 3 x^{2} + 4 x - 2$ 에 $\frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(- 3 x^{2} + 4 x - 2) \cdot 3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 6.10

$- 3 x^{2} + 4 x - 2$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot (- 3 x^{2} + 4 x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 6.11

$- 3 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (3 x^{2}) + 4 x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 6.12

$4 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (3 x^{2}) - (- 4 x) - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 6.13

$- (3 x^{2}) - (- 4 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (3 x^{2} - 4 x) - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 6.14

$- 2$ 을 $- 1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (- (3 x^{2} - 4 x) - 1 (2))}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 6.15

$- (3 x^{2} - 4 x) - 1 (2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (3 x^{2} - 4 x + 2))}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 6.16

$- (3 x^{2} - 4 x + 2)$ 을 $- 1 (3 x^{2} - 4 x + 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (- 1 (3 x^{2} - 4 x + 2))}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 6.17

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3 (3 x^{2} - 4 x + 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$