미적분 예제

$\frac{x^{3} - 1}{2 x^{3} + 1}$

단계 1

$f (x) = x^{3} - 1$ , $g (x) = 2 x^{3} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(2 x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 1] - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 1]}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{(2 x^{3} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 1]}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

단계 2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(2 x^{3} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 1]}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

단계 2.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{(2 x^{3} + 1) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 1]}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

단계 2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(2 x^{3} + 1) (3 x^{2}) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 1]}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

단계 2.4.2

$2 x^{3} + 1$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot (2 x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 1]}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

단계 2.5

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{3 (2 x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

단계 2.6

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{3 (2 x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

단계 2.7

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3 (2 x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

단계 2.8

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 (2 x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

단계 2.9

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{3 (2 x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (6 x^{2} + 0)}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

단계 2.10

식을 간단히 합니다.

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단계 2.10.1

$6 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3 (2 x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (6 x^{2})}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

단계 2.10.2

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 (2 x^{3} + 1) x^{2} - 6 (x^{3} - 1) x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(3 (2 x^{3}) + 3 \cdot 1) x^{2} - 6 (x^{3} - 1) x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (2 x^{3}) x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 6 (x^{3} - 1) x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (2 x^{3}) x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} + (- 6 x^{3} - 6 \cdot - 1) x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

단계 3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (2 x^{3}) x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 6 x^{3} x^{2} - 6 \cdot - 1 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

단계 3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.5.1.1

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.1.1.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 (2 (x^{2} x^{3})) + 3 \cdot 1 x^{2} - 6 x^{3} x^{2} - 6 \cdot - 1 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

단계 3.5.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 (2 x^{2 + 3}) + 3 \cdot 1 x^{2} - 6 x^{3} x^{2} - 6 \cdot - 1 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

단계 3.5.1.1.3

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{3 (2 x^{5}) + 3 \cdot 1 x^{2} - 6 x^{3} x^{2} - 6 \cdot - 1 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

단계 3.5.1.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{5} + 3 \cdot 1 x^{2} - 6 x^{3} x^{2} - 6 \cdot - 1 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

단계 3.5.1.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{5} + 3 x^{2} - 6 x^{3} x^{2} - 6 \cdot - 1 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

단계 3.5.1.4

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.1.4.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{6 x^{5} + 3 x^{2} - 6 (x^{2} x^{3}) - 6 \cdot - 1 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

단계 3.5.1.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{6 x^{5} + 3 x^{2} - 6 x^{2 + 3} - 6 \cdot - 1 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

단계 3.5.1.4.3

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{6 x^{5} + 3 x^{2} - 6 x^{5} - 6 \cdot - 1 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

단계 3.5.1.5

$- 6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{5} + 3 x^{2} - 6 x^{5} + 6 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

단계 3.5.2

$6 x^{5} + 3 x^{2} - 6 x^{5} + 6 x^{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 3.5.2.1

$6 x^{5}$ 에서 $6 x^{5}$ 을 뺍니다.

$\frac{3 x^{2} + 0 + 6 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

단계 3.5.2.2

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{2} + 6 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$

단계 3.5.3

$3 x^{2}$ 를 $6 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{9 x^{2}}{{(2 x^{3} + 1)}^{2}}$