미적분 예제

$p (t) = 12 t e^{- \frac{t}{7}}$

단계 1

$12$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $12 t e^{- \frac{t}{7}}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d t} [t e^{- \frac{t}{7}}]$ 입니다.

$12 \frac{d}{d t} [t e^{- \frac{t}{7}}]$

단계 2

$f (t) = t$ , $g (t) = e^{- \frac{t}{7}}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (t \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{7}}] + e^{- \frac{t}{7}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 3

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = - \frac{t}{7}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- \frac{t}{7}$ 로 바꿉니다.

$12 (t (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- \frac{t}{7}]) + e^{- \frac{t}{7}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (t (e^{u} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{7}]) + e^{- \frac{t}{7}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $- \frac{t}{7}$ 로 바꿉니다.

$12 (t (e^{- \frac{t}{7}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{7}]) + e^{- \frac{t}{7}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$- \frac{1}{7}$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- \frac{t}{7}$ 의 미분은 $- \frac{1}{7} \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$12 (t (e^{- \frac{t}{7}} (- \frac{1}{7} \frac{d}{d t} [t])) + e^{- \frac{t}{7}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 4.2

분수를 통분합니다.

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단계 4.2.1

$e^{- \frac{t}{7}}$ 와 $\frac{1}{7}$ 을 묶습니다.

$12 (t (- \frac{e^{- \frac{t}{7}}}{7} \frac{d}{d t} [t]) + e^{- \frac{t}{7}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 4.2.2

$t$ 와 $\frac{e^{- \frac{t}{7}}}{7}$ 을 묶습니다.

$12 (- \frac{t e^{- \frac{t}{7}}}{7} \frac{d}{d t} [t] + e^{- \frac{t}{7}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (- \frac{t e^{- \frac{t}{7}}}{7} \cdot 1 + e^{- \frac{t}{7}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 4.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 (- \frac{t e^{- \frac{t}{7}}}{7} + e^{- \frac{t}{7}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (- \frac{t e^{- \frac{t}{7}}}{7} + e^{- \frac{t}{7}} \cdot 1)$

단계 4.6

$e^{- \frac{t}{7}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 (- \frac{t e^{- \frac{t}{7}}}{7} + e^{- \frac{t}{7}})$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$12 (- \frac{t e^{- \frac{t}{7}}}{7}) + 12 e^{- \frac{t}{7}}$

단계 5.2

항을 묶습니다.

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단계 5.2.1

$- 1$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$- 12 \frac{t e^{- \frac{t}{7}}}{7} + 12 e^{- \frac{t}{7}}$

단계 5.2.2

$- 12$ 와 $\frac{t e^{- \frac{t}{7}}}{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 12 (t e^{- \frac{t}{7}})}{7} + 12 e^{- \frac{t}{7}}$

단계 5.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{12 t e^{- \frac{t}{7}}}{7} + 12 e^{- \frac{t}{7}}$