미적분 예제

$y = 4 e^{t} (e^{4 t} - e^{t})$

단계 1

$4$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $4 e^{t} (e^{4 t} - e^{t})$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d t} [e^{t} (e^{4 t} - e^{t})]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d t} [e^{t} (e^{4 t} - e^{t})]$

단계 2

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = e^{4 t} - e^{t}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (e^{t} \frac{d}{d t} [e^{4 t} - e^{t}] + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

단계 3

합의 법칙에 의해 $e^{4 t} - e^{t}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [e^{4 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]$ 가 됩니다.

$4 (e^{t} (\frac{d}{d t} [e^{4 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

단계 4

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = 4 t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 t$ 로 바꿉니다.

$4 (e^{t} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

단계 4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (e^{t} (e^{u} \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

단계 4.3

$u$ 를 모두 $4 t$ 로 바꿉니다.

$4 (e^{t} (e^{4 t} \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$4$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $4 t$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$4 (e^{t} (e^{4 t} (4 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

단계 5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (e^{t} (e^{4 t} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

단계 5.3

식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (e^{t} (e^{4 t} \cdot 4 + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

단계 5.3.2

$e^{4 t}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$4 (e^{t} (4 \cdot e^{4 t} + \frac{d}{d t} [- e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

단계 5.4

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- e^{t}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [e^{t}]$ 입니다.

$4 (e^{t} (4 e^{4 t} - \frac{d}{d t} [e^{t}]) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

단계 6

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ 은 $a^{t} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (e^{t} (4 e^{4 t} - e^{t}) + (e^{4 t} - e^{t}) \frac{d}{d t} [e^{t}])$

단계 7

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ 은 $a^{t} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (e^{t} (4 e^{4 t} - e^{t}) + (e^{4 t} - e^{t}) e^{t})$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (e^{t} (4 e^{4 t}) + e^{t} (- e^{t}) + (e^{4 t} - e^{t}) e^{t})$

단계 8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (e^{t} (4 e^{4 t}) + e^{t} (- e^{t}) + e^{4 t} e^{t} - e^{t} e^{t})$

단계 8.3

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (e^{t} (4 e^{4 t})) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

단계 8.4

항을 묶습니다.

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단계 8.4.1

지수를 더하여 $e^{t}$ 에 $e^{4 t}$ 을 곱합니다.

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단계 8.4.1.1

$e^{4 t}$ 를 옮깁니다.

$4 (e^{4 t} e^{t} \cdot 4) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

단계 8.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 (e^{4 t + t} \cdot 4) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

단계 8.4.1.3

$4 t$ 를 $t$ 에 더합니다.

$4 (e^{5 t} \cdot 4) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

단계 8.4.2

$e^{5 t}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$4 (4 \cdot e^{5 t}) + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

단계 8.4.3

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$16 e^{5 t} + 4 (e^{t} (- e^{t})) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

단계 8.4.4

지수를 더하여 $e^{t}$ 에 $e^{t}$ 을 곱합니다.

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단계 8.4.4.1

$e^{t}$ 를 옮깁니다.

$16 e^{5 t} + 4 (e^{t} e^{t} \cdot - 1) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

단계 8.4.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$16 e^{5 t} + 4 (e^{t + t} \cdot - 1) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

단계 8.4.4.3

$t$ 를 $t$ 에 더합니다.

$16 e^{5 t} + 4 (e^{2 t} \cdot - 1) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

단계 8.4.5

$e^{2 t}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$16 e^{5 t} + 4 (- 1 \cdot e^{2 t}) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

단계 8.4.6

$- 1 e^{2 t}$ 을 $- e^{2 t}$ 로 바꿔 씁니다.

$16 e^{5 t} + 4 (- e^{2 t}) + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

단계 8.4.7

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 (e^{4 t} e^{t}) + 4 (- e^{t} e^{t})$

단계 8.4.8

지수를 더하여 $e^{4 t}$ 에 $e^{t}$ 을 곱합니다.

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단계 8.4.8.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{4 t + t} + 4 (- e^{t} e^{t})$

단계 8.4.8.2

$4 t$ 를 $t$ 에 더합니다.

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} + 4 (- e^{t} e^{t})$

단계 8.4.9

지수를 더하여 $e^{t}$ 에 $e^{t}$ 을 곱합니다.

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단계 8.4.9.1

$e^{t}$ 를 옮깁니다.

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} + 4 (- (e^{t} e^{t}))$

단계 8.4.9.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} + 4 (- e^{t + t})$

단계 8.4.9.3

$t$ 를 $t$ 에 더합니다.

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} + 4 (- e^{2 t})$

단계 8.4.10

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$16 e^{5 t} - 4 e^{2 t} + 4 e^{5 t} - 4 e^{2 t}$

단계 8.4.11

$16 e^{5 t}$ 를 $4 e^{5 t}$ 에 더합니다.

$20 e^{5 t} - 4 e^{2 t} - 4 e^{2 t}$

단계 8.4.12

$- 4 e^{2 t}$ 에서 $4 e^{2 t}$ 을 뺍니다.

$20 e^{5 t} - 8 e^{2 t}$