미적분 예제

$y (t) = \frac{c}{b - a} \cdot (e^{- a t} - e^{- b t})$

단계 1

미분합니다.

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단계 1.1

$\frac{c}{b - a}$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{c}{b - a} (e^{- a t} - e^{- b t})$ 의 미분은 $\frac{c}{b - a} \frac{d}{d t} [e^{- a t} - e^{- b t}]$ 입니다.

$\frac{c}{b - a} \frac{d}{d t} [e^{- a t} - e^{- b t}]$

단계 1.2

합의 법칙에 의해 $e^{- a t} - e^{- b t}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [e^{- a t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}]$ 가 됩니다.

$\frac{c}{b - a} (\frac{d}{d t} [e^{- a t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

단계 2

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = - a t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $- a t$ 로 바꿉니다.

$\frac{c}{b - a} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{c}{b - a} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $- a t$ 로 바꿉니다.

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$- a$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- a t$ 의 미분은 $- a \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

단계 3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

단계 3.4

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- e^{- b t}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [e^{- b t}]$ 입니다.

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - \frac{d}{d t} [e^{- b t}])$

단계 4

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = - b t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- b t$ 로 바꿉니다.

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- b t]))$

단계 4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- b t]))$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $- b t$ 로 바꿉니다.

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (e^{- b t} \frac{d}{d t} [- b t]))$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$- b$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- b t$ 의 미분은 $- b \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - e^{- b t} (- b \frac{d}{d t} [t]))$

단계 5.2

곱합니다.

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단계 5.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + 1 e^{- b t} (b \frac{d}{d t} [t]))$

단계 5.2.2

$e^{- b t}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} (b \frac{d}{d t} [t]))$

단계 5.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} (b \cdot 1))$

단계 5.4

$b$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b) \frac{c}{b - a}$

단계 6.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(- e^{- a t} a + e^{- b t} b) \frac{c}{b - a}$

단계 6.3

$- e^{- a t} a + e^{- b t} b$ 에 $\frac{c}{b - a}$ 을 곱합니다.

$\frac{(- e^{- a t} a + e^{- b t} b) c}{b - a}$

단계 6.4

$- e^{- a t} a$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(- (e^{- a t} a) + e^{- b t} b) c}{b - a}$

단계 6.5

$e^{- b t} b$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(- (e^{- a t} a) - (- e^{- b t} b)) c}{b - a}$

단계 6.6

$- (e^{- a t} a) - (- e^{- b t} b)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

단계 6.7

$- (e^{- a t} a - e^{- b t} b)$ 을 $- 1 (e^{- a t} a - e^{- b t} b)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

단계 6.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

단계 6.9

$- \frac{(e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{c (a e^{- a t} - b e^{- b t})}{b - a}$