미적분 예제

$y = arcsec (\frac{1}{9 t^{4}})$

단계 1

$f (t) = arcsec (t)$ , $g (t) = \frac{1}{9 t^{4}}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{1}{9 t^{4}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

단계 1.2

$arcsec (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{1}{9 t^{4}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\frac{1}{9 t^{4}} \sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

단계 2

$\frac{1}{9 t^{4}}$ 와 $\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}{9 t^{4}}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

단계 3

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}{9 t^{4}}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$1 \frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

단계 4

$\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

단계 5

$\frac{1}{9}$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{1}{9 t^{4}}$ 의 미분은 $\frac{1}{9} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$ 입니다.

$\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} (\frac{1}{9} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}])$

단계 6

항을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{9}$ 에 $\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ 을 곱합니다.

$\frac{9 t^{4}}{9 \sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$

단계 6.2

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{9 t^{4}}{9 \sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$

단계 6.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$

단계 6.3

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 6.3.1

$\frac{1}{t^{4}}$ 을 ${(t^{4})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [{(t^{4})}^{- 1}]$

단계 6.3.2

${(t^{4})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 6.3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [t^{4 \cdot - 1}]$

단계 6.3.2.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [t^{- 4}]$

단계 7

$n = - 4$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} (- 4 t^{- 5})$

단계 8

분수를 통분합니다.

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단계 8.1

$- 4$ 와 $\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} t^{- 5}$

단계 8.2

$\frac{- 4 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ 와 $t^{- 5}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4 t^{4} t^{- 5}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

단계 9

지수를 더하여 $t^{4}$ 에 $t^{- 5}$ 을 곱합니다.

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단계 9.1

$t^{- 5}$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 4 (t^{- 5} t^{4})}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

단계 9.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 4 t^{- 5 + 4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

단계 9.3

$- 5$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{- 4 t^{- 1}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

단계 10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $t^{- 1}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{- 4}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1} t}$

단계 11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1} t}$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

$\frac{1}{9 t^{4}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1^{2}}{{(9 t^{4})}^{2}} - 1} t}$

단계 12.2

$9 t^{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1^{2}}{9^{2} {(t^{4})}^{2}} - 1} t}$

단계 12.3

항을 묶습니다.

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단계 12.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{9^{2} {(t^{4})}^{2}} - 1} t}$

단계 12.3.2

$9$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{81 {(t^{4})}^{2}} - 1} t}$

단계 12.3.3

${(t^{4})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 12.3.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{81 t^{4 \cdot 2}} - 1} t}$

단계 12.3.3.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{81 t^{8}} - 1} t}$