미적분 예제

$h (u) = u^{3} {(9 u^{2} - 6)}^{4}$

단계 1

$f (u) = u^{3}$ , $g (u) = {(9 u^{2} - 6)}^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ 는 $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$u^{3} \frac{d}{d u} [{(9 u^{2} - 6)}^{4}] + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

단계 2

$f (u) = u^{4}$ , $g (u) = 9 u^{2} - 6$ 일 때 $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ 는 $f' (g (u)) g' (u)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $9 u^{2} - 6$ 로 바꿉니다.

$u^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d u} [9 u^{2} - 6]) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

단계 2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$u^{3} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d u} [9 u^{2} - 6]) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $9 u^{2} - 6$ 로 바꿉니다.

$u^{3} (4 {(9 u^{2} - 6)}^{3} \frac{d}{d u} [9 u^{2} - 6]) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $9 u^{2} - 6$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d u} [9 u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 6]$ 가 됩니다.

$u^{3} (4 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (\frac{d}{d u} [9 u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 6])) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

단계 3.2

$9$ 은 $u$ 에 대해 일정하므로 $u$ 에 대한 $9 u^{2}$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d u} [u^{2}]$ 입니다.

$u^{3} (4 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (9 \frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 6])) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

단계 3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$u^{3} (4 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (9 (2 u) + \frac{d}{d u} [- 6])) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

단계 3.4

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$u^{3} (4 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (18 u + \frac{d}{d u} [- 6])) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

단계 3.5

$- 6$ 이 $u$ 에 대해 일정하므로, $- 6$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- 6$ 입니다.

$u^{3} (4 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (18 u + 0)) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$18 u$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u^{3} (4 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (18 u)) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

단계 3.6.2

$18$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$u^{3} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3} u) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

단계 4

지수를 더하여 $u^{3}$ 에 $u$ 을 곱합니다.

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단계 4.1

$u$ 를 옮깁니다.

$u \cdot u^{3} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3}) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

단계 4.2

$u$ 에 $u^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.1

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$u^{1} u^{3} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3}) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

단계 4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$u^{1 + 3} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3}) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

단계 4.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$u^{4} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3}) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

단계 5

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$u^{4} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3}) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} (3 u^{2})$

단계 6

${(9 u^{2} - 6)}^{4}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$u^{4} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3}) + 3 \cdot {(9 u^{2} - 6)}^{4} u^{2}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$u^{4} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3}) + 3 {(9 u^{2} - 6)}^{4} u^{2}$ 에서 $u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1.1

$u^{4} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3})$ 에서 $u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (u^{2} \cdot (24)) + 3 {(9 u^{2} - 6)}^{4} u^{2}$

단계 7.1.2

$3 {(9 u^{2} - 6)}^{4} u^{2}$ 에서 $u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (u^{2} \cdot (24)) + u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (9 u^{2} - 6)$

단계 7.1.3

$u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (u^{2} \cdot (24)) + u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (9 u^{2} - 6)$ 에서 $u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (u^{2} \cdot (24) + 9 u^{2} - 6)$

단계 7.2

항을 묶습니다.

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단계 7.2.1

$u^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$3 \cdot u^{2} {(9 u^{2} - 6)}^{3} (u^{2} \cdot (24) + 9 u^{2} - 6)$

단계 7.2.2

$u^{2}$ 의 왼쪽으로 $24$ 이동하기

$3 u^{2} {(9 u^{2} - 6)}^{3} (24 \cdot u^{2} + 9 u^{2} - 6)$

단계 7.2.3

$24 u^{2}$ 를 $9 u^{2}$ 에 더합니다.

$3 u^{2} {(9 u^{2} - 6)}^{3} (33 u^{2} - 6)$