미적분 예제

$e^{4 x} + e^{- x}$

단계 1

$e^{4 x} + e^{- x}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

단계 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

합의 법칙에 의해 $e^{4 x} + e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.1.1.2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.1.1.2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.1.1.2.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.1.1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.1.1.2.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.1.1.2.5

$e^{4 x}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.1.1.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.1.1.3.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.1.1.3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

단계 2.1.1.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

단계 2.1.1.3.5

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

단계 2.1.1.3.6

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

단계 2.1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $4 e^{4 x} - e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

단계 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 e^{4 x}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

단계 2.1.2.2.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

단계 2.1.2.2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

단계 2.1.2.2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

단계 2.1.2.2.3

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

단계 2.1.2.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

단계 2.1.2.2.5

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

단계 2.1.2.2.6

$e^{4 x}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$4 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

단계 2.1.2.2.7

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$16 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

단계 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- e^{- x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 입니다.

$16 e^{4 x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.1.2.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$16 e^{4 x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

단계 2.1.2.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$16 e^{4 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

단계 2.1.2.3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$16 e^{4 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

단계 2.1.2.3.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$16 e^{4 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.1.2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$16 e^{4 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

단계 2.1.2.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$16 e^{4 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

단계 2.1.2.3.6

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$16 e^{4 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

단계 2.1.2.3.7

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$16 e^{4 x} - - e^{- x}$

단계 2.1.2.3.8

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$16 e^{4 x} + 1 e^{- x}$

단계 2.1.2.3.9

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

단계 2.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $16 e^{4 x} + e^{- x}$ 입니다.

$16 e^{4 x} + e^{- x}$

단계 2.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $16 e^{4 x} + e^{- x} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$16 e^{4 x} + e^{- x} = 0$

단계 2.2.2

방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.

해 없음

단계 3

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 4

2차 미분값이 양수이므로 그래프는 위로 오목합니다.

위로 오목한 그래프

단계 5