미적분 예제

$y = \ln (| 2 + t - t^{3} |)$

단계 1

$f (t) = \ln (t)$ , $g (t) = | 2 + t - t^{3} |$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $| 2 + t - t^{3} |$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [| 2 + t - t^{3} |]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [| 2 + t - t^{3} |]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $| 2 + t - t^{3} |$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{| 2 + t - t^{3} |} \frac{d}{d t} [| 2 + t - t^{3} |]$

단계 2

$f (t) = | t |$ , $g (t) = 2 + t - t^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 + t - t^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{| 2 + t - t^{3} |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}])$

단계 2.2

$| u_{2} |$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ 입니다.

$\frac{1}{| 2 + t - t^{3} |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 + t - t^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{| 2 + t - t^{3} |} (\frac{2 + t - t^{3}}{| 2 + t - t^{3} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}])$

단계 3

$\frac{2 + t - t^{3}}{| 2 + t - t^{3} |}$ 에 $\frac{1}{| 2 + t - t^{3} |}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 + t - t^{3}}{| 2 + t - t^{3} | | 2 + t - t^{3} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

단계 4

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$\frac{2 + t - t^{3}}{| (2 + t - t^{3}) (2 + t - t^{3}) |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

단계 5

$2 + t - t^{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{1} (2 + t - t^{3}) |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

단계 6

$2 + t - t^{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{1} {(2 + t - t^{3})}^{1} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

단계 7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{1 + 1} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

단계 8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

단계 9

합의 법칙에 의해 $2 + t - t^{3}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}])$

단계 10

$2$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (0 + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}])$

단계 11

$0$ 를 $\frac{d}{d t} [t]$ 에 더합니다.

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}])$

단계 12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (1 + \frac{d}{d t} [- t^{3}])$

단계 13

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- t^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [t^{3}]$ 입니다.

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (1 - \frac{d}{d t} [t^{3}])$

단계 14

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (1 - (3 t^{2}))$

단계 15

식을 간단히 합니다.

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단계 15.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (1 - 3 t^{2})$

단계 15.2

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (1 - 3 t^{2})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(1 - 3 t^{2}) \frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |}$