미적분 예제

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}}$

단계 1

$f (w) = 17 w^{2} + 11$ , $g (w) = e^{w^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d w} [f (w) g (w)]$ 는 $f (w) \frac{d}{d w} [g (w)] + g (w) \frac{d}{d w} [f (w)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(17 w^{2} + 11) \frac{d}{d w} [e^{w^{2}}] + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

단계 2

$f (w) = e^{w}$ , $g (w) = w^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ 는 $f' (g (w)) g' (w)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $w^{2}$ 로 바꿉니다.

$(17 w^{2} + 11) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d w} [w^{2}]) + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(17 w^{2} + 11) (e^{u} \frac{d}{d w} [w^{2}]) + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $w^{2}$ 로 바꿉니다.

$(17 w^{2} + 11) (e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [w^{2}]) + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 는 $n w^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $17 w^{2} + 11$ 를 $w$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d w} [17 w^{2}] + \frac{d}{d w} [11]$ 가 됩니다.

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (\frac{d}{d w} [17 w^{2}] + \frac{d}{d w} [11])$

단계 3.3

$17$ 은 $w$ 에 대해 일정하므로 $w$ 에 대한 $17 w^{2}$ 의 미분은 $17 \frac{d}{d w} [w^{2}]$ 입니다.

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (17 \frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [11])$

단계 3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 는 $n w^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (17 (2 w) + \frac{d}{d w} [11])$

단계 3.5

$2$ 에 $17$ 을 곱합니다.

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w + \frac{d}{d w} [11])$

단계 3.6

$11$ 이 $w$ 에 대해 일정하므로, $11$ 를 $w$ 에 대해 미분하면 $11$ 입니다.

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w + 0)$

단계 3.7

$34 w$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(17 w^{2} e^{w^{2}} + 11 e^{w^{2}}) (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$17 w^{2} e^{w^{2}} (2 w) + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

단계 4.3

항을 묶습니다.

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단계 4.3.1

$2$ 에 $17$ 을 곱합니다.

$34 w^{2} e^{w^{2}} w + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

단계 4.3.2

$w$ 를 $1$ 승 합니다.

$34 (w^{1} w^{2}) e^{w^{2}} + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

단계 4.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$34 w^{1 + 2} e^{w^{2}} + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

단계 4.3.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

단계 4.3.5

$2$ 에 $11$ 을 곱합니다.

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 22 e^{w^{2}} w + e^{w^{2}} (34 w)$

단계 4.3.6

$e^{w^{2}}$ 를 옮깁니다.

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 22 w e^{w^{2}} + 34 w e^{w^{2}}$

단계 4.3.7

$22 w e^{w^{2}}$ 를 $34 w e^{w^{2}}$ 에 더합니다.

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 56 w e^{w^{2}}$

단계 4.4

항을 다시 정렬합니다.

$34 e^{w^{2}} w^{3} + 56 e^{w^{2}} w$

단계 4.5

$34 e^{w^{2}} w^{3} + 56 e^{w^{2}} w$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 56 w e^{w^{2}}$