미적분 예제

$v^{2} \sqrt{2 v - 5}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2 v - 5}$ 을(를) ${(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d v} [v^{2} {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (v) = v^{2}$ , $g (v) = {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ 는 $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$v^{2} \frac{d}{d v} [{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

단계 3

$f (v) = v^{\frac{1}{2}}$ , $g (v) = 2 v - 5$ 일 때 $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ 는 $f' (g (v)) g' (v)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 v - 5$ 로 바꿉니다.

$v^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

단계 3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$v^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $2 v - 5$ 로 바꿉니다.

$v^{2} (\frac{1}{2} {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$v^{2} (\frac{1}{2} {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$v^{2} (\frac{1}{2} {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$v^{2} (\frac{1}{2} {(2 v - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$v^{2} (\frac{1}{2} {(2 v - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

단계 7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$v^{2} (\frac{1}{2} {(2 v - 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

단계 8

분수를 통분합니다.

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단계 8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$v^{2} (\frac{1}{2} {(2 v - 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

단계 8.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(2 v - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$v^{2} (\frac{{(2 v - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

단계 8.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(2 v - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$v^{2} (\frac{1}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

단계 8.4

$\frac{1}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $v^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [2 v - 5] + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

단계 9

합의 법칙에 의해 $2 v - 5$ 를 $v$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [- 5]$ 가 됩니다.

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [- 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

단계 10

$2$ 은 $v$ 에 대해 일정하므로 $v$ 에 대한 $2 v$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d v} [v]$ 입니다.

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

단계 11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 는 $n v^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

단계 12

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d v} [- 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

단계 13

$- 5$ 이 $v$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $v$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

단계 14

항을 간단히 합니다.

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단계 14.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

단계 14.2

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{v^{2} \cdot 2}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

단계 14.3

$v^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

단계 14.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

단계 14.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{v^{2}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

단계 15

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 는 $n v^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{v^{2}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 v)$

단계 16

${(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{v^{2}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} v$

단계 17

공통분모를 사용하여 $\frac{v^{2}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} v$ 을 하나로 묶습니다.

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단계 17.1

${(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{v^{2}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + 2 v {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$

단계 17.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 v {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{v^{2}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 v {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 17.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{v^{2} + 2 v {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18

지수를 더하여 ${(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 18.1

${(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{v^{2} + 2 v ({(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{v^{2} + 2 v {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{v^{2} + 2 v {(2 v - 5)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{v^{2} + 2 v {(2 v - 5)}^{\frac{2}{2}}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{v^{2} + 2 v {(2 v - 5)}^{1}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19

$2 v {(2 v - 5)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{v^{2} + 2 v (2 v - 5)}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 20

간단히 합니다.

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단계 20.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{v^{2} + 2 v (2 v) + 2 v \cdot - 5}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 20.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 20.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 20.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{v^{2} + 2 \cdot 2 v \cdot v + 2 v \cdot - 5}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 20.2.1.2

지수를 더하여 $v$ 에 $v$ 을 곱합니다.

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단계 20.2.1.2.1

$v$ 를 옮깁니다.

$\frac{v^{2} + 2 \cdot 2 (v \cdot v) + 2 v \cdot - 5}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 20.2.1.2.2

$v$ 에 $v$ 을 곱합니다.

$\frac{v^{2} + 2 \cdot 2 v^{2} + 2 v \cdot - 5}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 20.2.1.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{v^{2} + 4 v^{2} + 2 v \cdot - 5}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 20.2.1.4

$- 5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{v^{2} + 4 v^{2} - 10 v}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 20.2.2

$v^{2}$ 를 $4 v^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{5 v^{2} - 10 v}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 20.3

$5 v^{2} - 10 v$ 에서 $5 v$ 를 인수분해합니다.

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단계 20.3.1

$5 v^{2}$ 에서 $5 v$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 v (v) - 10 v}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 20.3.2

$- 10 v$ 에서 $5 v$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 v (v) + 5 v (- 2)}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 20.3.3

$5 v (v) + 5 v (- 2)$ 에서 $5 v$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 v (v - 2)}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$