미적분 예제

$y = {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{8}$

단계 1

$f (w) = w^{8}$ , $g (w) = \frac{1}{w^{3} - 1}$ 일 때 $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ 는 $f' (g (w)) g' (w)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\frac{1}{w^{3} - 1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{8}] \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{3} - 1}]$

단계 1.2

$n = 8$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 {u_{1}}^{7} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{3} - 1}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{1}{w^{3} - 1}$ 로 바꿉니다.

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{3} - 1}]$

단계 2

$\frac{1}{w^{3} - 1}$ 을 ${(w^{3} - 1)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} \frac{d}{d w} [{(w^{3} - 1)}^{- 1}]$

단계 3

$f (w) = w^{- 1}$ , $g (w) = w^{3} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ 는 $f' (g (w)) g' (w)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $w^{3} - 1$ 로 바꿉니다.

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

단계 3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $w^{3} - 1$ 로 바꿉니다.

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (- {(w^{3} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

단계 4.2

합의 법칙에 의해 $w^{3} - 1$ 를 $w$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [- 1]$ 가 됩니다.

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [- 1]))$

단계 4.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 는 $n w^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (3 w^{2} + \frac{d}{d w} [- 1]))$

단계 4.4

$- 1$ 이 $w$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $w$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (3 w^{2} + 0))$

단계 4.5

식을 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$3 w^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (3 w^{2}))$

단계 4.5.2

${(w^{3} - 1)}^{- 2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (3 \cdot {(w^{3} - 1)}^{- 2} w^{2})$

단계 4.5.3

$3$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$- 24 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} w^{2})$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 24 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

단계 5.2

$\frac{1}{w^{3} - 1}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- 24 \frac{1^{7}}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

단계 5.3

항을 묶습니다.

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단계 5.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 24 \frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

단계 5.3.2

$- 24$ 와 $\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{7}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 24}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

단계 5.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{24}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

단계 5.3.4

$\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}}$ 와 $w^{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{24}{{(w^{3} - 1)}^{7}} \cdot \frac{w^{2}}{{(w^{3} - 1)}^{2}}$

단계 5.3.5

$\frac{w^{2}}{{(w^{3} - 1)}^{2}}$ 에 $\frac{24}{{(w^{3} - 1)}^{7}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{w^{2} \cdot 24}{{(w^{3} - 1)}^{2} {(w^{3} - 1)}^{7}}$

단계 5.3.6

지수를 더하여 ${(w^{3} - 1)}^{2}$ 에 ${(w^{3} - 1)}^{7}$ 을 곱합니다.

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단계 5.3.6.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{w^{2} \cdot 24}{{(w^{3} - 1)}^{2 + 7}}$

단계 5.3.6.2

$2$ 를 $7$ 에 더합니다.

$- \frac{w^{2} \cdot 24}{{(w^{3} - 1)}^{9}}$

단계 5.3.7

$w^{2}$ 의 왼쪽으로 $24$ 이동하기

$- \frac{24 w^{2}}{{(w^{3} - 1)}^{9}}$

단계 5.4

분모를 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{24 w^{2}}{{(w^{3} - 1^{3})}^{9}}$

단계 5.4.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = w$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$- \frac{24 w^{2}}{{((w - 1) (w^{2} + w \cdot 1 + 1^{2}))}^{9}}$

단계 5.4.3

간단히 합니다.

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단계 5.4.3.1

$w$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{24 w^{2}}{{((w - 1) (w^{2} + w + 1^{2}))}^{9}}$

단계 5.4.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{24 w^{2}}{{((w - 1) (w^{2} + w + 1))}^{9}}$

단계 5.4.4

$(w - 1) (w^{2} + w + 1)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{24 w^{2}}{{(w - 1)}^{9} {(w^{2} + w + 1)}^{9}}$