미적분 예제

$g (t) = t^{2} - \frac{1}{t^{3}}$

단계 1

미분합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $t^{2} - \frac{1}{t^{3}}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{3}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{3}}]$

단계 1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 t + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{3}}]$

단계 2

$\frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (t) = - 1$ , $g (t) = \frac{1}{t^{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 t - \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}] + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.2

$\frac{1}{t^{3}}$ 을 ${(t^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 t - \frac{d}{d t} [{(t^{3})}^{- 1}] + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.3

$f (t) = t^{- 1}$ , $g (t) = t^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $t^{3}$ 로 바꿉니다.

$2 t - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 t - (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.3.3

$u$ 를 모두 $t^{3}$ 로 바꿉니다.

$2 t - (- {(t^{3})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 t - (- {(t^{3})}^{- 2} (3 t^{2})) + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.5

$- 1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$2 t - (- {(t^{3})}^{- 2} (3 t^{2})) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

단계 2.6

${(t^{3})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.6.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 t - (- t^{3 \cdot - 2} (3 t^{2})) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

단계 2.6.2

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$2 t - (- t^{- 6} (3 t^{2})) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

단계 2.7

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 t - (- 3 t^{- 6} t^{2}) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

단계 2.8

지수를 더하여 $t^{- 6}$ 에 $t^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.8.1

$t^{2}$ 를 옮깁니다.

$2 t - (- 3 (t^{2} t^{- 6})) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

단계 2.8.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 t - (- 3 t^{2 - 6}) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

단계 2.8.3

$2$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$2 t - (- 3 t^{- 4}) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

단계 2.9

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 t + 3 t^{- 4} + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

단계 2.10

$\frac{1}{t^{3}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 t + 3 t^{- 4} + 0$

단계 2.11

$3 t^{- 4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 t + 3 t^{- 4}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$2 t + 3 \frac{1}{t^{4}}$

단계 3.2

$3$ 와 $\frac{1}{t^{4}}$ 을 묶습니다.

$2 t + \frac{3}{t^{4}}$