미적분 예제

$g (t) = \sin^{2} (3 t) + \arcsin (3 t)$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\sin^{2} (3 t) + \arcsin (3 t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [\sin^{2} (3 t)] + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [\sin^{2} (3 t)] + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

단계 2

$\frac{d}{d t} [\sin^{2} (3 t)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (t) = t^{2}$ , $g (t) = \sin (3 t)$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\sin (3 t)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\sin (3 t)] + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

단계 2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\sin (3 t)] + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

단계 2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\sin (3 t)$ 로 바꿉니다.

$2 \sin (3 t) \frac{d}{d t} [\sin (3 t)] + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

단계 2.2

$f (t) = \sin (t)$ , $g (t) = 3 t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 t$ 로 바꿉니다.

$2 \sin (3 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

단계 2.2.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$2 \sin (3 t) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

단계 2.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 t$ 로 바꿉니다.

$2 \sin (3 t) (\cos (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

단계 2.3

$3$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $3 t$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 \sin (3 t) (\cos (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \sin (3 t) (\cos (3 t) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

단계 2.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \sin (3 t) (\cos (3 t) \cdot 3) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

단계 2.6

$\cos (3 t)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$2 \sin (3 t) (3 \cdot \cos (3 t)) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

단계 2.7

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

단계 3

$\frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$f (t) = \arcsin (t)$ , $g (t) = 3 t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $3 t$ 로 바꿉니다.

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{d}{d u_{3}} [\arcsin (u_{3})] \frac{d}{d t} [3 t]$

단계 3.1.2

$\arcsin (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{3}}^{2}}}$ 입니다.

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{3}}^{2}}} \frac{d}{d t} [3 t]$

단계 3.1.3

$u_{3}$ 를 모두 $3 t$ 로 바꿉니다.

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 t)}^{2}}} \frac{d}{d t} [3 t]$

단계 3.2

$3$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $3 t$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 t)}^{2}}} (3 \frac{d}{d t} [t])$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 t)}^{2}}} (3 \cdot 1)$

단계 3.4

$3 t$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 (t))}^{2}}} (3 \cdot 1)$

단계 3.5

$3 (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - (3^{2} t^{2})}} (3 \cdot 1)$

단계 3.6

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - (9 t^{2})}} (3 \cdot 1)$

단계 3.7

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - 9 t^{2}}} (3 \cdot 1)$

단계 3.8

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - 9 t^{2}}} \cdot 3$

단계 3.9

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 t^{2}}}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{3}{\sqrt{1 - 9 t^{2}}}$

단계 4

항을 다시 정렬합니다.

$6 \cos (3 t) \sin (3 t) + \frac{3}{\sqrt{1 - 9 t^{2}}}$