미적분 예제

$\arccos (e^{- t})$

단계 1

$f (t) = \arccos (t)$ , $g (t) = e^{- t}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $e^{- t}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

단계 1.2

$\arccos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ 입니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $e^{- t}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(e^{- t})}^{2}}} \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

단계 2

${(e^{- t})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - e^{- t \cdot 2}}} \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

단계 2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

단계 3

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = - t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- t$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t])$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t])$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $- t$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$e^{- t}$ 와 $\frac{1}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} \frac{d}{d t} [- t]$

단계 4.2

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- t$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$- \frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} (- \frac{d}{d t} [t])$

단계 4.3

곱합니다.

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단계 4.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} \frac{d}{d t} [t]$

단계 4.3.2

$\frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} \frac{d}{d t} [t]$

단계 4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} \cdot 1$

단계 4.5

$\frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}}$