미적분 예제

$f (t) = e^{2 t \sin (2 t)}$

단계 1

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = 2 t \sin (2 t)$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 t \sin (2 t)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [2 t \sin (2 t)]$

단계 1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 t \sin (2 t)]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 t \sin (2 t)$ 로 바꿉니다.

$e^{2 t \sin (2 t)} \frac{d}{d t} [2 t \sin (2 t)]$

단계 2

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t \sin (2 t)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)]$ 입니다.

$e^{2 t \sin (2 t)} (2 \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)])$

단계 2.2

$e^{2 t \sin (2 t)}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot e^{2 t \sin (2 t)} \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)]$

단계 3

$f (t) = t$ , $g (t) = \sin (2 t)$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 e^{2 t \sin (2 t)} (t \frac{d}{d t} [\sin (2 t)] + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

단계 4

$f (t) = \sin (t)$ , $g (t) = 2 t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 t$ 로 바꿉니다.

$2 e^{2 t \sin (2 t)} (t (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

단계 4.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$2 e^{2 t \sin (2 t)} (t (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 t$ 로 바꿉니다.

$2 e^{2 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 e^{2 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

단계 5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 e^{2 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) (2 \cdot 1)) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

단계 5.3

식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 e^{2 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) \cdot 2) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

단계 5.3.2

$\cos (2 t)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 e^{2 t \sin (2 t)} (t (2 \cdot \cos (2 t)) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

단계 5.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 e^{2 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t)) + \sin (2 t) \cdot 1)$

단계 5.5

$\sin (2 t)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 e^{2 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t)) + \sin (2 t))$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 e^{2 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t))) + 2 e^{2 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$

단계 6.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 e^{2 t \sin (2 t)} t \cos (2 t) + 2 e^{2 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$