미적분 예제

$a (1 - e^{- k t}) + b$

단계 1

합의 법칙에 의해 $a (1 - e^{- k t}) + b$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})] + \frac{d}{d t} [b]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})] + \frac{d}{d t} [b]$

단계 2

$\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$a$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $a (1 - e^{- k t})$ 의 미분은 $a \frac{d}{d t} [1 - e^{- k t}]$ 입니다.

$a \frac{d}{d t} [1 - e^{- k t}] + \frac{d}{d t} [b]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $1 - e^{- k t}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]$ 가 됩니다.

$a (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

단계 2.3

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$a (0 + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

단계 2.4

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- e^{- k t}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [e^{- k t}]$ 입니다.

$a (0 - \frac{d}{d t} [e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

단계 2.5

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = - k t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- k t$ 로 바꿉니다.

$a (0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

단계 2.5.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$a (0 - (e^{u} \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

단계 2.5.3

$u$ 를 모두 $- k t$ 로 바꿉니다.

$a (0 - (e^{- k t} \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

단계 2.6

$- k$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- k t$ 의 미분은 $- k \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$a (0 - (e^{- k t} (- k \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [b]$

단계 2.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$a (0 - (e^{- k t} (- k \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [b]$

단계 2.8

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a (0 - (e^{- k t} (- k))) + \frac{d}{d t} [b]$

단계 2.9

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$a (0 + 1 (e^{- k t} (k))) + \frac{d}{d t} [b]$

단계 2.10

$e^{- k t}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a (0 + e^{- k t} k) + \frac{d}{d t} [b]$

단계 2.11

$0$ 를 $e^{- k t} k$ 에 더합니다.

$a e^{- k t} k + \frac{d}{d t} [b]$

단계 3

$b$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $b$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $b$ 입니다.

$a e^{- k t} k + 0$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$a e^{- k t} k$ 를 $0$ 에 더합니다.

$a e^{- k t} k$

단계 4.2

$a e^{- k t} k$ 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{- k t} a k$

단계 4.3

$e^{- k t} a k$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$a k e^{- k t}$