미적분 예제

$\sqrt[3]{t} (8 - t)$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{t}$ 을(를) $t^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}} (8 - t)]$

단계 2

$f (t) = t^{\frac{1}{3}}$ , $g (t) = 8 - t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [8 - t] + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

단계 3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $8 - t$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [- t]$ 가 됩니다.

$t^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [- t]) + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

단계 3.2

$8$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$t^{\frac{1}{3}} (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

단계 3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d t} [- t]$ 에 더합니다.

$t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [- t] + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

단계 3.4

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- t$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$t^{\frac{1}{3}} (- \frac{d}{d t} [t]) + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

단계 3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$t^{\frac{1}{3}} (- 1 \cdot 1) + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$t^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

단계 3.6.2

$t^{\frac{1}{3}}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$- 1 \cdot t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

단계 3.6.3

$- 1 t^{\frac{1}{3}}$ 을 $- t^{\frac{1}{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

단계 3.7

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1})$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}})$

단계 7.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}})$

단계 8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}})$

단계 9

$\frac{1}{3}$ 와 $t^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) \frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

단계 10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $t^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- t^{\frac{1}{3}} + (8 - t) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- t^{\frac{1}{3}} + 8 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

단계 11.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$8$ 와 $\frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ 을 묶습니다.

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

단계 11.2.2

$\frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ 와 $t$ 을 묶습니다.

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

단계 11.2.3

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $t^{\frac{2}{3}}$ 를 분자로 이동합니다.

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t \cdot t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

단계 11.2.4

지수를 더하여 $t$ 에 $t^{- \frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.4.1

$t$ 에 $t^{- \frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.4.1.1

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{1} t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

단계 11.2.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{1 - \frac{2}{3}}}{3}$

단계 11.2.4.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3}$

단계 11.2.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{\frac{3 - 2}{3}}}{3}$

단계 11.2.4.4

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- t^{\frac{1}{3}} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{t^{\frac{1}{3}}}{3}$

단계 11.2.5

공통 분모를 가지는 분수로 $- t^{\frac{1}{3}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- t^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

단계 11.2.6

$- t^{\frac{1}{3}}$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- t^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

단계 11.2.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- t^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

단계 11.2.8

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 t^{\frac{1}{3}} - t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

단계 11.2.9

$- 3 t^{\frac{1}{3}}$ 에서 $t^{\frac{1}{3}}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 4 t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

단계 11.2.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4 t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

단계 11.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{8}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 t^{\frac{1}{3}}}{3}$