미적분 예제

$- 6 t {(5 t^{4} - 1)}^{4}$

단계 1

$- 6$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- 6 t {(5 t^{4} - 1)}^{4}$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d t} [t {(5 t^{4} - 1)}^{4}]$ 입니다.

$- 6 \frac{d}{d t} [t {(5 t^{4} - 1)}^{4}]$

단계 2

$f (t) = t$ , $g (t) = {(5 t^{4} - 1)}^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 6 (t \frac{d}{d t} [{(5 t^{4} - 1)}^{4}] + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

단계 3

$f (t) = t^{4}$ , $g (t) = 5 t^{4} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 t^{4} - 1$ 로 바꿉니다.

$- 6 (t (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [5 t^{4} - 1]) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

단계 3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 6 (t (4 u^{3} \frac{d}{d t} [5 t^{4} - 1]) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $5 t^{4} - 1$ 로 바꿉니다.

$- 6 (t (4 {(5 t^{4} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [5 t^{4} - 1]) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $5 t^{4} - 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [5 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 가 됩니다.

$- 6 (t (4 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (\frac{d}{d t} [5 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

단계 4.2

$5$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $5 t^{4}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d t} [t^{4}]$ 입니다.

$- 6 (t (4 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (5 \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

단계 4.3

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 6 (t (4 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (5 (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

단계 4.4

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 6 (t (4 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (20 t^{3} + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

단계 4.5

$- 1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$- 6 (t (4 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (20 t^{3} + 0)) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

단계 4.6

식을 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$20 t^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 6 (t (4 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (20 t^{3})) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

단계 4.6.2

$20$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 6 (t (80 {(5 t^{4} - 1)}^{3} t^{3}) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

단계 5

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 6 (t^{3} t^{1} (80 {(5 t^{4} - 1)}^{3}) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

단계 6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 6 (t^{3 + 1} (80 {(5 t^{4} - 1)}^{3}) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

단계 7

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 6 (t^{4} (80 {(5 t^{4} - 1)}^{3}) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

단계 8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 6 (t^{4} (80 {(5 t^{4} - 1)}^{3}) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \cdot 1)$

단계 9

${(5 t^{4} - 1)}^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 6 (t^{4} (80 {(5 t^{4} - 1)}^{3}) + {(5 t^{4} - 1)}^{4})$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 6 (t^{4} (80 {(5 t^{4} - 1)}^{3})) - 6 {(5 t^{4} - 1)}^{4}$

단계 10.2

$80$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$- 480 (t^{4} ({(5 t^{4} - 1)}^{3})) - 6 {(5 t^{4} - 1)}^{4}$

단계 10.3

$- 480 t^{4} {(5 t^{4} - 1)}^{3} - 6 {(5 t^{4} - 1)}^{4}$ 에서 $6 {(5 t^{4} - 1)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

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단계 10.3.1

$- 480 t^{4} {(5 t^{4} - 1)}^{3}$ 에서 $6 {(5 t^{4} - 1)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$6 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (- 80 t^{4}) - 6 {(5 t^{4} - 1)}^{4}$

단계 10.3.2

$- 6 {(5 t^{4} - 1)}^{4}$ 에서 $6 {(5 t^{4} - 1)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$6 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (- 80 t^{4}) + 6 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (- (5 t^{4} - 1))$

단계 10.3.3

$6 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (- 80 t^{4}) + 6 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (- (5 t^{4} - 1))$ 에서 $6 {(5 t^{4} - 1)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$6 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (- 80 t^{4} - (5 t^{4} - 1))$