미적분 예제

$500 t + \frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})$

단계 1

합의 법칙에 의해 $500 t + \frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$

단계 2

$\frac{d}{d t} [500 t]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$500$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $500 t$ 의 미분은 $500 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$500 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$500 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$

단계 2.3

$500$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$500 + \frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$

단계 3

$\frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\frac{4200}{π}$ 와 $\sin (\frac{π t}{12})$ 을 묶습니다.

$500 + \frac{d}{d t} [\frac{4200 \sin (\frac{π t}{12})}{π}]$

단계 3.2

$\frac{4200}{π}$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{4200 \sin (\frac{π t}{12})}{π}$ 의 미분은 $\frac{4200}{π} \frac{d}{d t} [\sin (\frac{π t}{12})]$ 입니다.

$500 + \frac{4200}{π} \frac{d}{d t} [\sin (\frac{π t}{12})]$

단계 3.3

$f (t) = \sin (t)$ , $g (t) = \frac{π t}{12}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{π t}{12}$ 로 바꿉니다.

$500 + \frac{4200}{π} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [\frac{π t}{12}])$

단계 3.3.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$500 + \frac{4200}{π} (\cos (u) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{12}])$

단계 3.3.3

$u$ 를 모두 $\frac{π t}{12}$ 로 바꿉니다.

$500 + \frac{4200}{π} (\cos (\frac{π t}{12}) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{12}])$

단계 3.4

$\frac{π}{12}$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{π t}{12}$ 의 미분은 $\frac{π}{12} \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$500 + \frac{4200}{π} (\cos (\frac{π t}{12}) (\frac{π}{12} \frac{d}{d t} [t]))$

단계 3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$500 + \frac{4200}{π} (\cos (\frac{π t}{12}) (\frac{π}{12} \cdot 1))$

단계 3.6

$\frac{π}{12}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$500 + \frac{4200}{π} (\cos (\frac{π t}{12}) \frac{π}{12})$

단계 3.7

$\cos (\frac{π t}{12})$ 와 $\frac{π}{12}$ 을 묶습니다.

$500 + \frac{4200}{π} \cdot \frac{\cos (\frac{π t}{12}) π}{12}$

단계 3.8

$\frac{4200}{π}$ 에 $\frac{\cos (\frac{π t}{12}) π}{12}$ 을 곱합니다.

$500 + \frac{4200 (\cos (\frac{π t}{12}) π)}{π \cdot 12}$

단계 3.9

$π$ 의 왼쪽으로 $12$ 이동하기

$500 + \frac{4200 \cos (\frac{π t}{12}) π}{12 \cdot π}$

단계 3.10

$4200$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.10.1

$4200 \cos (\frac{π t}{12}) π$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$500 + \frac{12 (350 \cos (\frac{π t}{12}) π)}{12 π}$

단계 3.10.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.10.2.1

$12 π$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$500 + \frac{12 (350 \cos (\frac{π t}{12}) π)}{12 (π)}$

단계 3.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$500 + \frac{12 (350 \cos (\frac{π t}{12}) π)}{12 π}$

단계 3.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$500 + \frac{350 \cos (\frac{π t}{12}) π}{π}$

단계 3.11

$π$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.11.1

공약수로 약분합니다.

$500 + \frac{350 \cos (\frac{π t}{12}) π}{π}$

단계 3.11.2

$350 \cos (\frac{π t}{12})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$500 + 350 \cos (\frac{π t}{12})$